ブラック・ショールズ方程式

株価 $S$ の値動きと、満期 $T$ に株を値段 $K$ で買える権利(コール・オプション)の価値 $V(S,t)$ を考える。$r$ は危険の無い金利である。

1. 株価は、平均の伸び $\mu$ と、でたらめな揺れ $\sigma dW$ で動くとする($W$ はブラウン運動、$\sigma$ は値動きの激しさ)。

   $$dS=\mu Sdt+\sigma SdW$$

2. 伊藤の公式によると、$V(S,t)$ の変化には、揺れの 2 乗から来る項が加わる($(dW{)}^2=dt$ のため)。

   $$dV=\left(\frac{\partial V}{\partial t}+\mu S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}\right)dt+\sigma S\frac{\partial V}{\partial S}dW$$

3. オプションを 1 つ持ち、株を $\Delta =\partial V/\partial S$ 株だけ売っておく組 $\Pi =V-\Delta S$ をつくる。$dW$ の項が打ち消し合い、短い時間では値動きの危険が消える。

   $$d\Pi =\left(\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}\right)dt$$

4. 危険の無い組は、銀行に預けたのと同じ金利 $r$ でしか増えないはずである。それより多く増えるなら、元手なしに確実に儲ける取引ができてしまう。

   $$d\Pi =r\Pi dt=r\left(V-S\frac{\partial V}{\partial S}\right)dt$$

5. 手順 3 と 4 を等しいとおくと、ブラック・ショールズ方程式になる。株の平均の伸び $\mu$ は式から消えている。

   $$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0$$

6. 満期の価値は、株価が $K$ より高ければその差、低ければ権利を使わないので 0 である。

   $$V(S,T)=\max (S-K,0)$$

7. 変数を置き換えると、この方程式は熱が棒を伝わる熱伝導方程式に変わり、解ける。満期までの残りを $\tau =T-t$、$N$ を標準正規分布の累積分布関数として

   $$C=SN(d_1)-K{e}^{-r\tau }N(d_2),d_{1,2}=\frac{\ln (S/K)+(r\pm {\sigma }^2/2)\tau }{\sigma \sqrt{\tau }}$$

手順 5 で $\mu$ が消えたことが、この式の核心である。株が上がると思う人も下がると思う人も、$\sigma$ と $r$ が同じなら、同じ値段に合意できる。値段は、株の伸びを $r$ とした世界で受け取りの期待値を求め、$e^{-r\tau }$ で割り引いたものに等しい(リスク中立の評価)。

前提も多い。値動きの激しさ $\sigma$ は一定、値段は飛ばずに連続して動く、取引の手数料は無く、いつでも好きなだけ売り買いできる。実際の市場では、どれも崩れることがある。1987 年 10 月の株の暴落のあとは、満期と行使の値段ごとに市場の値段から逆算した $\sigma$ が違う「スマイル」と呼ばれる形が目立つようになった。式は値段を考える共通の言葉として使われ続けているが、将来の値動きを当てる道具ではない。