慣性の法則

中学3年の理科では、滑らかな水平面で台車を走らせ、力がはたらかない物体は静止し続けるか等速直線運動を続けることを、慣性の法則として学ぶ。合力を成分ごとに0とおいて運動方程式から速度一定を導く計算や、動摩擦係数と力の分解を使う計算は、高校の物理基礎で扱う。

$\vec{F}$は物体にはたらく力、$\sum \vec{F}$はその合力、$m$は質量、$\vec{a}$は加速度、$\vec{v}$は速度を表す。速度が一定とは、速さも向きも変わらないことをいう。

1. 合力を成分ごとに0とおく

   $$\sum F_x=0,\sum F_y=0$$

2. 運動方程式の右辺に入れる

   $$m\vec{a}=\sum \vec{F}=\vec{0}$$

3. 両辺を質量で割る

   $$\vec{a}=\vec{0}$$

4. 加速度を速度の変わる割合で書く

   $$\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\vec{0}$$

5. 速度は初めの値のまま変わらない

   $$\vec{v}={\vec{v}}_0$$

6. 位置は時間に比例して進む

   $$\vec{x}={\vec{x}}_0+{\vec{v}}_{0}t$$

手順5が、この法則でいちばん取り違えやすい一歩である。合力0から出てくるのは$\vec{v}=\vec{0}$ではなく、$\vec{v}={\vec{v}}_0$だ。つまり、止まり続けるか動き続けるかは、初めの速度で決まる。静止は、等速直線運動の速さがたまたま0の場合にすぎない。

では、運動方程式から出てくる性質を、なぜ第1法則として別に立てるのか。手順2の運動方程式は、どこから見ても成り立つわけではないからだ。慣性の法則がそのまま成り立つ見方を、大学の力学では慣性系とよぶ。運動方程式は慣性系の中で使う。慣性の法則は運動方程式の特別な場合であると同時に、その式を使ってよい見方を決める目印にもなる。

この関係は逆向きにも読める。速度が一定だと分かれば、加速度は0で、合力も0である。目に見えない力を求めるときは、むしろこの向きのほうが役に立つ。質量60 kgの人が、一定の速さで上るエレベーターに乗っているとする。

7. 上向きを正として合力を0とおく

   $$N-mg=0$$

8. 床が押す力（垂直抗力）を求める

   $$N=60\times 9.8=588\mathrm{N}$$

速さの値は、式のどこにも入っていない。秒速2 mでも秒速5 mでも588 Nのままで、目盛りが動くのは、動き出しと止まる前の速さが変わっている間だけである。