アルキメデスの原理

密度 $\rho$ の液体の中の物にかかる力を、圧力から求める。液面での圧力を $p_0$、重力の加速度を $g$ とする。

1. 深さ $z$ での圧力は、面積 $A$ の上に乗っている液体の柱の重さ $\rho Azg$ を面積で割ったものだけ、液面より大きい。

   $$p(z)=p_0+\rho gz$$

2. 上の面が深さ $h$、高さ $H$、上下の面の面積が $A$ の直方体を沈める。上の面は下向きに、下の面は上向きに押される。

   $$F_{\text{上}}=(p_0+\rho gh)A,F_{\text{下}}=(p_0+\rho g(h+H))A$$

3. 横の面にかかる力は、向かい合う面どうしで同じ深さに同じ圧力がかかるので打ち消し合う。残るのは上下の差で、上向きに

   $$F=F_{\text{下}}-F_{\text{上}}=\rho gHA=\rho Vg$$

4. どんな形の物でも同じになる。物があった場所を、同じ形の液体で置き換えて考える(ステヴィンの考え方)。その液体は止まっているので、周りから受ける力の合計は、自分の重さとちょうど釣り合う上向きの力である。

   $$F={\rho }_{\text{液}}Vg$$

5. 周りの液体は、中が液体か物かを区別しない。だから物も同じ力を受ける。これがアルキメデスの原理である。物の重さを $mg={\rho }_{\text{物}}Vg$ とすると、液体の中で量った見かけの重さは

   $$W^{\prime }=({\rho }_{\text{物}}-{\rho }_{\text{液}})Vg$$

6. 浮いている物は、沈んだ部分の体積 $V_{\text{沈}}$ の分の浮力で自分の重さを支える。${\rho }_{\text{液}}{V}_{\text{沈}}g={\rho }_{\text{物}}Vg$ から、沈む割合は密度の比で決まる。

   $$\frac{V_{\text{沈}}}{V}=\frac{{\rho }_{\text{物}}}{{\rho }_{\text{液}}}$$

王冠の話に当てはめる。金の密度は 19.3 g/cm³、銀は 10.5 g/cm³ である。1000 g の純金の体積は 51.8 cm³。金 700 g と銀 300 g を混ぜた 1000 g の冠は 64.8 cm³ になる。差は 13.0 cm³ である。口の直径が 20 cm の器なら、水面の高さの差は 0.41 mm にすぎない。ガリレオが「おおざっぱ」と書いたのはこのことである。一方、天秤の両側に冠と 1000 g の金を吊るして水に沈めると、見かけの重さは 935.2 g と 948.2 g になり、13 g の差で天秤ははっきりと金の側へ傾く。