密度

小学校の理科で学ぶ「体積が同じでも重さは違うことがある」を1つの数にしたのが、密度である。文部科学省の解説では、中学校第1学年の「身の回りの物質」の学習例に、物質の体積や質量に着目して密度を測り、物質を区別する実験が挙がっている。密度の記号$\rho$はギリシャ文字で、ローと読む。

1. 金属片の質量と体積を測る

   $$m=54.0\mathrm{g},V=20.0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$$

2. 同じ物質なら質量は体積に比例する

   $$m=\rho V$$

3. 両辺を$V$で割る

   $$\rho =\frac{m}{V}$$

4. 測った値を代入する

   $$\rho =\frac{54.0\mathrm{g}}{20.0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}=2.70g/c{\mathrm{m}}^3$$

米国立標準技術研究所（NIST）の表ではアルミニウムが2.699 g/cm³なので、この金属片はアルミニウムとみてよい。1 cm³あたりにそろえたので、大きさの違う物でも比べられる。同じ物質で温度と圧力が同じなら、大きな塊でも小さな粒でも$\rho$は同じだ。

単位はg/cm³に限らない。物理ではkg/m³をよく使う。換算でつまずくのは体積のほうである。

5. 質量の単位を直す

   $$1\mathrm{g}=10^{-3}\mathrm{kg}$$

6. 長さの換算を3乗して体積を直す

   $$1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3=(10^{-2}\mathrm{m}{)}^3=10^{-6}{\mathrm{m}}^3$$

7. 手順5の式を手順6の式で割る

   $$1g/c{\mathrm{m}}^3=\frac{10^{-3}\mathrm{kg}}{10^{-6}{\mathrm{m}}^3}$$

8. 指数を計算する

   $$1g/c{\mathrm{m}}^3=10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$$

1 mは100 cmだが、1 m³は100 cm³ではない。縦、横、高さのそれぞれで100倍になるので、100万cm³である。つまり水はおよそ1,000 kg/m³で、1 kg/Lと言っても同じことだ。

では、2つの物を合わせた全体の密度はどうなるか。

9. 全体の質量は足し算になる

   $$m=m_1+m_2$$

10. 体積も足し算になるとみて、手順3を使う

    $$V=\frac{m_1}{{\rho }_1}+\frac{m_2}{{\rho }_2}$$

11. 全体の質量を全体の体積で割る

    $$\rho =\frac{m_1+m_2}{\frac{m_1}{{\rho }_1}+\frac{m_2}{{\rho }_2}}$$

金700 gと銀300 gの冠で計算してみる。アルキメデスの原理の記事と同じく金を19.3 g/cm³、銀を10.5 g/cm³とすると、体積は64.8 cm³で、全体の密度は15.4 g/cm³になる。2つの密度の平均14.9 g/cm³は出てこない。

シラクサの王冠の話も、銀を混ぜると同じ質量でも体積が増えることを使う。ただし、これを書き残したのはウィトルウィウスで、アルキメデスの死からおよそ200年後の記録である。本人の著作に冠の話は出てこない。