ハットのタイル

示すことは 2 つある。ハットで平面を埋められることと、どう埋めても周期的にならないことである。前者は置き換え(次の章)で、いくらでも大きな塊を作って示す。後者について、論文は証明を 2 つ載せている。コンピュータで並び方を場合分けし尽くす証明と、第 3 節の短い証明で、ここでは後者を追う。ハットは凧形の格子(ラーヴェス敷き詰め [3.4.6.4])の凧形 8 枚をつないだ形である。

1. 長さ 2 の辺を、長さ 1 の辺 2 本と数える。ハットの 14 本の辺は、長さ 1 が 8 本、長さ $\sqrt{3}$ が 6 本で、それぞれの組でベクトルを足すと 0 になる。

   $$\sum _{\text{長さ }1}\vec{e}=\vec{0},\sum _{\text{長さ }\sqrt{3}}\vec{e}=\vec{0}$$

2. したがって、向きを変えずに長さ 1 の辺を $a$ に、$\sqrt{3}$ の辺を $b$ に替えても、多角形は閉じる。これを Tile($a$, $b$) と書く。

   $$\mathrm{hat}=\mathrm{Tile}(1,\sqrt{3}),\text{亀}=\mathrm{Tile}(\sqrt{3},1)$$

長さ 1 の辺だけを順につなぐとコメット Tile(1, 0)、$\sqrt{3}$ の辺だけをつなぐとシェブロン Tile(0, $\sqrt{3}$) になる。この 2 つが、次の手順で主役になる。

3. 周期的なハットの敷き詰め $T$ があると仮定する。$T$ のハットはすべて凧形の格子にそろう(論文の補題 A.6)ので、どの線分も長さ 1 の辺だけか、$\sqrt{3}$ の辺だけでできている。長さ 1 の辺を 0 に縮めると、シェブロンの周期的な敷き詰め $T_4$ ができ、$\sqrt{3}$ の辺を縮めるとコメットの周期的な敷き詰め $T_8$ ができる。

   $$T⟶T_4(\text{シェブロン}),T⟶T_8(\text{コメット})$$

4. シェブロンは 1 辺 $\sqrt{3}$ の正三角形 4 枚、コメットは 1 辺 1 の正三角形 8 枚でできている。

   $$S_4=4\times \frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3}{)}^2=3\sqrt{3},S_8=8\times \frac{\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}$$

5. 3 つの敷き詰めはタイルが 1 対 1 に対応し、$T$ の平行移動の対称は、$T_4$ と $T_8$ の平行移動の対称に移る。$T_4$ の周期を $T_8$ の周期へ移す対応は線形写像 $g$ で表せる。周期の平行四辺形に入るタイルの枚数 $N$ は同じなので、面積は $2/3$ 倍になる。

   $$|\det g|=\frac{N\times 2\sqrt{3}}{N\times 3\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$$

6. 次がいちばん難しい一歩で、$g$ が相似変換(どの向きにも同じ倍率)であることを示す。凧形の向きは 6 通りあり、ハットは 4 つの向きを 1 枚ずつ、残る 2 つの向きを 2 枚ずつ使う。2 枚使う向きの組で、ハットの置き方 12 通りは 3 つの組に分かれる。無限の敷き詰めでは 6 つの向きの凧形が同じ割合で現れるので、3 つの組も同じ割合で現れる。これを使って $T_4$ を帯に分け、3 方向の周期を比べると、$T_8$ に移した周期どうしも 120° ずつ開くことが分かる。

   $$|g\vec{v}|=\sqrt{\frac{2}{3}}|\vec{v}|$$

7. $T_4$ の頂点は 1 辺 $\sqrt{3}$ の三角格子に、$T_8$ の頂点は 1 辺 1 の三角格子に乗る。三角格子の 2 点を結ぶベクトルは、60° 開いた 2 本の基本ベクトルの整数倍の和で、長さの 2 乗は次の形になる。

   $$|\vec{v}{|}^2=3(m^2+mn+n^2),|g\vec{v}{|}^2=p^2+pq+q^2$$

8. 手順 6 から、長さの 2 乗は $2/3$ 倍になる。

   $$p^2+pq+q^2=\frac{2}{3}\times 3(m^2+mn+n^2)=2(m^2+mn+n^2)$$

9. $m$, $n$ の少なくとも一方が奇数なら、$m^2+mn+n^2$ は奇数である(例題 2)。

   $$m^2+mn+n^2\equiv 1(\mathrm{mod}2)$$

10. 両方が偶数なら $m^2+mn+n^2$ は 4 で割れ、同じ形の式が残る。これをくり返すと、含まれる因数 2 の個数はいつも偶数になる。

    $$m^2+mn+n^2=4^k\times (\text{奇数})$$

11. 手順 8 の左辺は 2 の偶数乗と奇数の積、右辺は 2 の奇数乗と奇数の積で、$\vec{v}\ne \vec{0}$ なら等しくなれない。仮定が誤りで、ハットの敷き詰めは周期的にならない。

    $$2^{2j}\times (\text{奇数})\ne 2^{2k+1}\times (\text{奇数})$$

手順 6 は帯の中のシェブロンを 3 通りに分けて数える長い議論で、ここでは筋だけを書いた(完全な証明は論文の第 3 節)。効いているのは、面積の比 $2/3$ と、因数 2 の個数の偶奇である。1 辺の長さをそろえると、三角格子のベクトルを格子のベクトルへ移す倍率 $\sqrt{2}$ の相似は無い、と言い直せる。論文は、この $\sqrt{2}$ と黄金比が深く関係していそうだと述べている。$1+{\phi }^{-1}+{\phi }^{-2}=2$ なので、長さ 1 と ${\phi }^{-1}$ の 2 辺が 120° をはさむ三角形の残りの辺は $\sqrt{2}$ になる。

論文の第 6 節では、$a$ と $b$ が正で等しくない Tile($a$, $b$) の敷き詰めが、辺の長さを変えるだけでハットの敷き詰めと 1 対 1 に対応することを示す。だから、これらもすべて非周期的になる。$a=b$ の Tile(1, 1) は表と裏を同じ数だけ使えば周期的に並び、シェブロンとコメットも周期的に並ぶ。