作用・反作用の法則

中学3年の理科では、ローラースケートを履いた2人が押し合うと2人とも動き出すような体験から、力が互いにはたらき合うことに触れる。法則を式で書き、運動方程式と組み合わせて計算するのは、高校の物理基礎である。

この計算の道すじ。 公式の記号を読み、押し合う2台の台車で、受ける力は同じでも加速度は質量で違うことを数で確かめる（手順1〜8）。次に、机の上の本で、つり合いの2力と作用・反作用の2力を見分ける（手順9〜11）。

公式の$\vec{F}$は力で、単位はN（ニュートン）である。文字の上の矢印は、大きさのほかに向きももつ量（ベクトル）の印だ。右下の$\mathrm{A}\to \mathrm{B}$は「AがBに及ぼす」と読むので、${\vec{F}}_{\mathrm{A}\to \mathrm{B}}$はBが受ける力になる。

右辺のマイナスは、向きを逆にする印である。右向きを正と決めると、右向きに120 Nの力は$+120$ N、その逆向きは$-120$ Nと書ける。大きさは同じ120 Nで、符号が向きを表す。向きを符号で表すときは、文字の上の矢印を外して$F_{\mathrm{A}\to \mathrm{B}}$のように書く。

なめらかな床の上で、質量60 kgの台車Aと40 kgの台車Bを向かい合わせ、0.50秒のあいだ一定の120 Nで押し合わせたとする。右向きを正にとる。台車の動きは運動方程式$ma=F$で決まり、受けた力$F$を質量$m$で割った分だけ、1秒ごとに速度が変わる（運動方程式）。この1秒あたりの速度の変化$a$を加速度といい、単位はm/s²である。

1. Bが受ける力を、右向きを正として書く

   $$F_{\mathrm{A}\to \mathrm{B}}=+120\mathrm{N}$$

2. 作用・反作用の法則で、Aが受ける力を出す

   $$F_{\mathrm{B}\to \mathrm{A}}=-F_{\mathrm{A}\to \mathrm{B}}=-120\mathrm{N}$$

3. Bの運動方程式に、質量40と受けた力を入れる

   $$40\times a_{\mathrm{B}}=+120$$

4. 両辺を40で割る

   $$a_{\mathrm{B}}=+3.0m/{\mathrm{s}}^2$$

5. Aの運動方程式に、質量60と受けた力を入れる

   $$60\times a_{\mathrm{A}}=-120$$

6. 両辺を60で割る

   $$a_{\mathrm{A}}=-2.0m/{\mathrm{s}}^2$$

つまり、同じ120 Nを受けても、軽いBの加速度は重いAの1.5倍になる。質量と加速度の掛け算が、どちらも受けた力の120になるからだ。止まっていた台車の速度は、加速度に時間を掛ければ求まる。

7. Bの0.50秒後の速度を、加速度×時間で出す

   $$v_{\mathrm{B}}=3.0\times 0.50=1.5m/s$$

8. Aの速度も同じように出す

   $$v_{\mathrm{A}}=-2.0\times 0.50=-1.0m/s$$

Bの質量を重くしても軽くしても、押し合っている間の2本の力の矢印は同じ長さのままだ。変わるのは、押し終えたあとの速さである。Bを120 kgにすると、Aより重くなったBのほうがゆっくり離れていく。

ニュートンも第3法則の説明で、逆向きに生じる速度の変化は物体の量（今でいう質量）に反比例すると書いた。手順7と8の速度に質量を掛けて足すと、ちょうど0になる。

$$60\times (-1.0)+40\times 1.5=0$$

質量×速度は運動量とよばれ、押し合う前の0から、押し合ったあとも0のままである。物理で習う運動量保存の法則は、この性質から出てくる。2台が離れていく速さは$1.5-(-1.0)=2.5$ m/sで、相対速度の引き算で求まる。

では、同じ大きさで逆向きの2力なら、いつでも作用・反作用なのだろうか。机の上に止まっている質量0.50 kgの本で確かめる。本が受ける力は、地球が本を引く重力$W$と、机が本を押し上げる力（垂直抗力）$N$の2つだ。重力の大きさは、質量に重力加速度9.8 m/s²を掛けて求める。

9. 本が受ける重力を計算する

   $$W=0.50\times 9.8=4.9\mathrm{N}$$

10. 本は止まっているので、上向きを正として、本が受ける力の和を0とおく

    $$N-W=0$$

11. 両辺に$W$を足す

    $$N=W=4.9\mathrm{N}$$

手順10で足した$N$と$W$は、どちらも本が受ける力である。1つの物体が受ける力の和が0になることを、力のつり合いという。$N$と$W$は同じ大きさで逆向きだが、作用・反作用の組ではない。

$N$（机→本）の相手は、本が机を押し下げる力（本→机）だ。$W$（地球→本）の相手は、本が地球を引き上げる力（本→地球）で、地球も4.9 Nで本の側へ引かれている。作用・反作用の2力は必ず別々の物体にはたらくので、1つの物体の動きを考えるときに足し合わせることはない。

では、どう見分ければよいのか。矢印の主語と相手を入れ替えてみればよい。「机が本を押す」を入れ替えると「本が机を押す」になり、これが反作用だ。「机が本を押す」と「地球が本を引く」は、相手が入れ替わっていないので組にならない。

違いは、本を乗せた机ごと上向きに2.0 m/s²で加速させると、はっきりする。本の運動方程式は$N-W=0.50\times 2.0$なので、$N=4.9+1.0=5.9$ Nに増え、つり合いは崩れる。それでも、本が机を押す力は$N$と同じ5.9 Nのままだ。作用・反作用は、物体が止まっていても加速していても成り立つ。