小学校と中学校で習う公式を、学年の順に読み直す

5年生が理科「振り子の運動」で身に付けることを、指導要領は1文で言う。

「振り子が1往復する時間は、おもりの重さなどによっては変わらないが、振り子の長さによって変わること。」

何で変わり、何で変わらないか。教室で確かめるのはそこまでで、長さを4倍にしたら時間が何倍になるかは書かれていない。解説の理科編は、おもりの重さ、振り子の長さ、振れ幅を1つずつ変え、ほかの条件をそろえて調べるよう求める。長さは、糸をつるした位置からおもりの重心まで。おもりを下へつなげて増やすと長さまで変わってしまうことがある、という注意も付いている。

なぜ式にしないのか。記号の順番にも理由がありそうだ。周期の式$T=2\pi \sqrt{L/g}$に入るπを文字で書くのは中学1年、√を習うのは中学3年である。それでいて、円周率そのものは同じ5年生が算数で習い、内容の取扱いは「円周率は3.14を用いるものとする」と決めている。

5年生が習う規則は、ガリレオ・ガリレイが1638年に『新科学対話』で書いた2つのことと重なる。同じ長さの振り子は、振れ幅によらず同じ時間で往復する。往復の時間は、長さの平方根に比例する。1つめは5年生が振れ幅を変えて確かめる中身にあたり、2つめは「長さによって変わる」を数で言い切った形だ。

ただ、1つめは厳密には成り立たない。振れ幅が大きいと往復の時間が延びることをはっきり示したのは、振り子時計を作ったクリスティアーン・ホイヘンスだった。1673年の『振り子時計』に示した関係は、書き直すと$T=2\pi \sqrt{L/g}$になる。振れ幅が大きいほど、実際の周期はこの式から離れていき、30°で1.7%、60°で7.3%長い（振り子の周期）。解説は「振れ幅が極端に大きくならないように適切な振れ幅で実験を行う」よう書く。理由は添えられていないが、結果として、式の成り立つ範囲に実験を収める注意にもなっている。

式を持つと、振り子は道具に変わる。高校の物理では、単振り子を単振動の例として扱う。長さと周期を測れば、$g=4{\pi }^{2}L/T^2$から重力加速度が求まる。5年生が確かめた「おもりの重さなどによっては変わらない」も、建物の免震に生きている。球面すべり支承という免震装置は、半径$R$の球面のすべり板で建物を支え、地震のときは建物が振り子のようにゆっくり揺れる。周期$2\pi \sqrt{2R/g}$に建物の質量は入らないので、荷物を積んでも周期は変わらない。

中学1年の数学は、小学校で学んだ円を振り返る。解説の数学編によると、円の周の長さと面積を円周率πで$\ell =2\pi r$、$S=\pi r^2$と表す。πの記号は、1706年にイギリスのウィリアム・ジョーンズが使ったのが最初で、のちにオイラーが使って広まった。

6年生の公式は、なぜ言葉のままだったのか。算数の解説に、手がかりになる一文がある。比例の式を$y=a\times x$、または$y=(\text{決まった数})\times x$の形で示したあとに、「定数としての文字aは中学校で学習する」と断っているのだ。πは、決まった数を1文字で書いたもの。6年生もaやxを使った式を習うが、文字を決まった数として扱うのは中学校から、と解説は線を引いている。

同じ中学1年の「空間図形」で、本文は「扇形の弧の長さと面積、基本的な柱体や錐体、球の表面積と体積を求めること」を挙げる。球について、解説の書き方ははっきりしている。「球の体積は、それがぴったりと入る円柱の体積の$\frac{2}{3}$である。」ただ、式から導くのではない。柱体との関係を予想させ、模型や実験で量って確かめる。

この$\frac{2}{3}$は、アルキメデスが墓に刻ませたかった比だ。『球と円柱について』第1巻で、アルキメデスは球の表面積と体積を求め、球にぴったり外接する円柱は体積も表面積も球の$\frac{3}{2}$倍だと書いた。プルタルコスによれば、アルキメデスは円柱に球が収まった形を墓に置くよう頼んでいる。死から137年後の紀元前75年、シチリアに赴いたキケロが、藪の中からその墓を見つけた。

しかも、アルキメデスが最初にこの比をつかんだのは、てこを使う想像の実験だった。球と円錐を薄い板に切って片側に吊るし、反対側で円柱の板と釣り合わせたのである（球の体積）。6年生で習うてこと、中学1年で習う球は、アルキメデスの仕事では1本の筋でつながっていた。

中学1年の最初の項目「正の数と負の数」では、本文が「正の数と負の数の四則計算をすること」を挙げる。負の数どうしの積が正になる規則を書いた古い記録に、インドのブラーマグプタが628年にまとめた天文書がある。同じ本には、中学3年で習う解の公式とほぼ同じ規則も入っている（負の数どうしのかけ算）。

球の式は、高校の数学IIIで導き直す。半円を回してできる回転体と見て、定積分で体積を出す。地球を平均半径6371 kmの球として体積を出し、質量で割ると、平均の密度は約5.5 g/cm³。地表にある岩石の2.7〜3 g/cm³よりずっと大きいので、地球の奥には重いものが集まっているはずだ。

中学3年の数学は、正の数の平方根から始まる。用語と記号に「根号」が入り、同じ学年に三平方の定理と解の公式が並ぶ。どちらも、答えに√が現れる公式である。

三平方の定理で本文が知識として挙げるのは、「三平方の定理の意味を理解し、それが証明できることを知ること」だ。つまり、証明を書けるところまでは求めていない。解説の数学編は、証明の中には生徒に技巧的と受け取られるものもあるとして、「三平方の定理を証明できることを知る程度とし」と書く。逆の定理も、証明には深入りしない。

解説は、導入で「歴史的な背景や逸話」を紹介するよう勧める。挙がるのは、古代エジプトにいた縄張り師の話と、ピタゴラスが定理としてまとめたとされる話だ。ただ、この事典の三平方の定理は、縄張り師が3:4:5に張った縄で直角を出した話を、裏付ける直接の記録が見つかっていない話として扱う。ピタゴラス本人が書いたものも、1行も残っていない。一般の直角三角形について証明を書き残したいちばん古い記録は、紀元前300年ごろにエウクレイデスが書いた『原論』第1巻の命題47だ。

解の公式でも、本文は「解の公式を知り、それを用いて二次方程式を解くこと」と書く。ここでも「知り」である。解説によると、教室ではまず$x^2+4x-7=0$のように$x$の係数が偶数になる方程式を、平方の形に変形して解く。係数が奇数の方程式は、解の公式と関連付けて扱うことが考えられるという。そのうえで、係数が数字で書かれた方程式を解く手順と見比べながら「解の公式が導かれる過程を知ること」を重視する。解説は解の公式を、式変形を繰り返す手間を省いて能率的に解を求めるためのもの、と位置づけている。

係数を半分にする解き方は、古い記録にもそのまま残る。820年ごろバグダードでフワーリズミーが本に載せた$x^2+10x=39$では、係数10を半分にした5を1辺とする正方形を角に足し、答え3を出す。それより2600年ほど前に書かれた粘土板BM 13901も、係数を半分にし、2乗し、足し、平方根をとって引く。係数まで文字で書き、1つの式ですべての場合を表せるようになったのは、16世紀末のヴィエトからである（二次方程式の解の公式）。数字の係数から文字の係数へ。粘土板からヴィエトまで3000年を超える道のりを、中学3年では二次方程式という1つの項目でたどる。

√の入った2つの公式は、その先で毎日のように使われる。三平方の定理を3次元に広げると、GNSSの受信機が衛星までの距離を連立させて位置を出す式になり、時計のずれも未知数に入るので衛星は4機以上要る。高さ1.5 mの手から秒速20 mで真上にボールを投げたなら、$1.5+20t-4.9t^2=0$を解の公式で解いて、約4.16秒後に地面に着くと分かる。

2つめは「生命の連続性」の項目に入る分離の法則だ。本文は「交配実験の結果などに基づいて、親の形質が子に伝わるときの規則性を見いだして理解すること」を挙げ、内容の取扱いで「分離の法則を扱うこと」と求める。

解説によると、教室ではメンデルが交配実験で得た結果を分析し、対になっている遺伝子が分かれて別々の生殖細胞に入るから規則性が生じる、と取り上げる。続けて、コインやカードを使う交配のモデル実験で、試行回数と結果の関係に気付かせる。

メンデルは1865年2月と3月、ブリュンの自然研究協会の例会で、8年かけてエンドウを交配した実験を報告した。種子の形では丸が5474粒、しわが1850粒で、比は2.96対1。論文は翌1866年に協会の紀要に載ったが、1900年に3人の研究者が同じ規則に行き着くまで、ほとんど反応が無かった。

コインを使う実験は、メンデルが出した数をめぐる論争と同じ問いを含んでいる。たとえば2枚のコインを100回投げて潜性の組み合わせを数えても、25回ちょうどにはなかなかならない。筆者が二項分布で計算すると、17回から34回のあいだに96%ほどが収まる。1936年、統計学者ロナルド・フィッシャーは、メンデルの数がこのばらつきに比べて期待に近すぎると指摘した。この「良すぎる」問題は、いまも決着していない（メンデルの分離の法則）。

高校の生物では、2組の遺伝子が別々に伝わる場合と、同じ染色体に乗って連鎖する場合へ進む。医療の遺伝カウンセリングでも、分離の法則は確率を出すときの出発点だ。両親がともに$Aa$なら、子が$aa$になる確率は$\frac{1}{4}$。発症していない子が因子を持つ確率は、$\frac{1}{2}$ではなく$\frac{2}{3}$になる。