lo g_{b} x = \frac{ln x}{ln b}

数式の読み方

logとlnの読み方と、底を書かないlogの意味

How to read log and ln, and what a log with no written base means

同じlog 100が、2にも4.605にも6.644にもなる。

logは「ログ」、lnは「エルエヌ」と読む。底を書かないlogは分野と道具で10、e、2に分かれ、答えは一定の倍率でずれる。S = k log Wや素数定理の読み分けと、底を1回で見分ける打ち方まで。

種類: 数式の読み方
公式: 6 本
人物: エドワード・ライト、ヨハネス・ケプラー、ボナヴェントゥーラ・カヴァリエリ、ウィリアム・オートレッド、ヘンリー・ブリッグス、ピエトロ・メンゴリ、レオンハルト・オイラー、アーヴィング・ストリンガム、ルートヴィッヒ・ボルツマン、クロード・シャノン
作成日: 2026-10-31
更新日: 2026-10-31
執筆・監修: 佐々木航

対数の法則シャノンの情報エントロピーボルツマンのエントロピー素数定理ツィオルコフスキーの公式放射性崩壊

場面

答えが3つあるlog

Excelのセルに=LOG(100)と打つと、答えは2だ。Pythonでmath.log(100)を実行すると、4.605170185988092が返る。情報理論の本の流儀で読めば、同じ $lo g 100$ は6.643856…になる。

どれも間違っていない。

違うのは、書かれていない底である。Excelは10を、Pythonはネイピア数 $e$ を、情報理論の本は2を、黙って補っている。 $lo g$ は「ログ」、 $ln$ は「エルエヌ」と読み、 $ln$ の底は $e$ に決まっている。ところが $lo g$ の底は、道具と分野で入れ替わる。

しかも3つの答えは、ばらばらの数ではない。4.60517を2で割ると2.3026、6.64386を2で割ると3.3219。100を1000に変えると答えは3、6.90776、9.96578になるが、3で割った結果はやはり2.3026と3.3219である。

では、底を書かない $lo g$ に出会ったら、どう読めばよいのだろうか。

考え方

ログ、エルエヌ、ナチュラルログ

$lo g$ は英語のlogarithmの頭3文字で、日本語では「ログ」と読む。底を添えた $lo g_{2} 8$ は「ログ2の8」、ていねいに言えば「2を底とする8の対数」である。金沢工業大学の教材にも、 $lo g_{a} N$ は「ログaのN」と読むとある¹。

式	日本語	英語
$lo g x$	ログエックス	log x
$lo g_{2} 8$	ログ2の8	log base 2 of 8
$lo g_{10} x$	ログ10のエックス、エックスの常用対数	log base 10 of x、the common log of x
$ln x$	エルエヌエックス、エックスの自然対数	the natural log of x

$ln$ は対数と「自然」を合わせた記号だ。日本大百科全書によれば、ラテン語のlogarithmus naturalisを略した形である。1文字目は小文字のエルで、新潟大学の講義資料には、大文字のアイではないから「いん」とは読まない、とわざわざ注がある。たしかに書体によっては、 $ln$ は「In」に見える。

$ln$ の読み方は1つに定まっていない。岐阜工業高等専門学校の計測工学の資料には、ナチュラルログ、エルエヌ、ローンの3つが並ぶ。英語で迷わないのはthe natural log of xである。

図

何を何回掛けるか

2を底とする8の対数が3である式の各部分。小さく添えた2が底で掛ける数、8が真数でできあがる数、3が対数の値で掛ける回数を表す。下の行はln、lg、lbの3つの記号が指す底。

$lo g_{2} 8 = 3$ は、「2を3回掛けると8になる」という1行である。掛ける数の2が底（てい）で、英語ではbase。できあがる8が真数（しんすう）で、3がその対数だ。累乗と指数の読み方で読んだ $2^{3} = 8$ を、右肩の3について解いた形にあたる。

読むときは、日本語でも英語でも底が先で、真数があとになる。

底を書かない $lo g$ は、この図の2の場所が空いている式だ。 $ln x$ は、その場所に $e$ が入った $lo g_{e} x$ を短く書いたものである。

考え方

底は物差しの目盛り

$lo g_{b} x$ は、1から $x$ までの道のりを「 $b$ 倍の積み木」で測った個数と読める。100までの道のりは、2倍の積み木なら6個と少し、 $e$ 倍なら4個と少し、10倍ならちょうど2個で埋まる。

1から100までの同じ道のりを、2倍、e倍、10倍の積み木で測った図。2倍なら6.644個、e倍なら4.605個、10倍ならちょうど2個で埋まる。斜線は端数にあたる。

端数にも意味がある。2倍の積み木を6個並べると64で、100までは残り1.5625倍。 $2^{0.644} \approx 1.5625$ なので、この端数が0.644個ぶんになる。

道のりそのものは、どの底でも変わらない。同じ距離をメートルとフィートで測ると数字は変わるのに、2つの比はいつも同じである。 $lo g$ の答えも同じで、10倍の積み木1個が2倍の積み木3.3219個ぶん、 $e$ 倍の積み木2.3026個ぶんの長さだから、比は $x$ によらず一定になる。

つまり、底を取り替えるのは、単位を取り替えるのと同じことなのである。

シミュレーション

3列の積み木を一緒に伸ばす

底を2、 $e$ 、10から選ぶと、その列の積み木に掛け算の途中の値が付く。列を横になぞるか $x$ のつまみを動かすと、3列の個数が一緒に伸び縮みし、読み出しの比は3.3219、2.3026、1.4427のまま動かない。 $x$ を1より小さくすると積み木は左へ伸び、値は負になる。「横軸を対数目盛りに」を押すと、下のグラフの3本の曲線は点 $(1, 0)$ を通る直線に変わる。

式

底の取り替えを1行ずつ

比が一定になる理由は、指数の形に戻すと見えてくる。ここでは $b$ を1以外の正の数、 $x$ を正の数とする。

$lo g_{b} x$ を $y$ とおき、指数の形に直す。
$y = lo g_{b} x ⟺ b^{y} = x$
両辺の自然対数をとる。
$ln (b^{y}) = ln x$
指数を前に出す。
$y ln b = ln x$
$y$ について解く。底の違いは、 $ln x$ に掛かる定数に収まった。
$lo g_{b} x = \frac{ln x}{ln b}$
$b = 10$ を入れる。 $ln 10 = 2.3026$ である。
$lo g_{10} x = \frac{ln x}{2.3026} = 0.4343 ln x$
$b = 2$ を入れる。 $ln 2 = 0.6931$ である。
$lo g_{2} x = \frac{ln x}{0.6931} = 1.4427 ln x$
2つの比をとると、 $x$ が消える。 $x = 1$ ではどの底でも0なので、比は $x \neq = 1$ で考える。
$\frac{lo g _{2} x}{lo g _{10} x} = \frac{ln 10}{ln 2} = lo g_{2} 10 = 3.3219$
手順4を微分する。 $(ln x)^{'} = 1/ x$ を使う。
$\frac{d}{d x} lo g_{b} x = \frac{1}{x ln b}$

手順8の $ln b$ に、数学の $lo g$ が $e$ を指す理由がある。 $b = e$ なら $ln b = 1$ で、導関数はただの $1/ x$ になる。底10なら微分するたびに0.4343が付いて回り、 $\int d x / x$ を底10で書けば2.3026が混ざる。

考え方

定数と組になる底

では、実際の式の $lo g$ はどれを指しているのか。読むときは、まず底で答えが変わる式かどうかを見る。

ボルツマンの墓に刻まれた $S = k lo g W$ の $lo g$ は、自然対数である。ボルツマンのエントロピーの証明をたどると、底を決めているのは熱のほうだと分かる。1 molの理想気体を等温で2倍の体積に広げるとき、 $\int d V / V$ から出る $ln 2$ によって、エントロピーは $R ln 2 = 5.76$ J/K増える。このとき並び方の数 $W$ は $2^{N_{A}}$ 倍になり、 $N_{A} k = R$ なので、 $k lo g 2^{N_{A}}$ が熱の計算と合うのは底が $e$ のときだけだ。

測定もこれを裏付ける。氷に残るエントロピーをポーリングは1935年に $R ln (3/2)$ と見積もり、その3.37 J/（mol·K）は測定値の約3.4とそろった。底10で読むと1.46で、半分にも届かない。

もっとも、底10で書けないわけではない。 $k ln W = (k ln 10) lo g_{10} W$ なので、定数を $k$ の2.3026倍にすれば同じ $S$ が出る。 $k = 1.380649 \times 1 0^{- 23}$ J/Kという値は、底 $e$ と組で決まっている。

シャノンの情報エントロピーの $H = - \sum p lo g_{2} p$ では、この組の関係がもっとはっきりする。シャノンは1948年の論文で、定数 $K$ は測る単位を選ぶことにすぎないとし、「対数の底の選択は、情報を測る単位の選択にあたる」と書いた。底2ならビット、底10ならdecimal digit、底 $e$ ならnatural unitで、同じ箇所の $lo g_{2} M = 3.32 lo g_{10} M$ は手順7の比そのものだ。表と裏が半々の硬貨を1回投げた情報は、1ビット、0.693 natural unit、0.301 decimal digitで、どれも同じ量を指す。

だから、情報理論の本でも流儀は割れる。スタンフォード大学のJohn Duchiは講義ノートで「情報理論の研究者に謝らなければならない」と断り、 $lo g$ をすべて底 $e$ で書く。分析に都合がよく、微分もずっと楽になるからだという。

考え方

取り替えられない底、消える底

では、どの式でも底を選べるのだろうか。素数定理の $π (x) \sim x / ln x$ では、取り替えられない。 $\sim$ は比が1に近づくことを表し、定数倍のずれを許さないからだ。

$x$	$π (x)$	$x / ln x$	$x / lo g_{10} x$	$x / lo g_{2} x$
$1 0^{3}$	168	145	333	100
$1 0^{6}$	78,498	72,382	166,667	50,172
$1 0^{9}$	50,847,534	48,254,942	111,111,111	33,447,777

$1 0^{9}$ で比べると、 $ln$ の列は素数の個数 $π (x)$ の0.949倍まで迫る。底10の列は2.19倍、底2の列は0.66倍で、 $x$ を限りなく大きくしても、2.3026倍と0.6931倍にしか近づかない。

$ln$ と明記された式も同じ側にある。ツィオルコフスキーの公式の $Δ v = v_{e} ln (m_{0} / m_{f})$ も、放射性崩壊の $T_{1/2} = ln 2/ λ$ も、 $1/ m$ や $1/ N$ の積分から $ln$ が出てくる。たとえば噴射の速さ3.0 km/sのロケットが質量の半分を燃やすと $Δ v$ は約2.1 km/sだが、電卓のLOGボタンで打つと約0.90 km/sと出てしまう。

一方で、底が消える式もある。炭素14の年代 $t = T_{1/2} lo g (N_{0} / N) / lo g 2$ は $lo g$ どうしの比なので、分子と分母の底をそろえれば、どの底でも答えは同じだ。半減期5730年で残りが60%なら約4200年。ところが分子を底10、分母を底 $e$ で計算すると、約1830年になる。

プログラムの計算量 $O (lo g n)$ でも底は消える。定数倍の違いを $O$ の中では問わないからだ。スタンフォード大学のアルゴリズムの授業CS161の資料には、底のない $lo g x$ を見たら「底は関係ないと考えてよい」とある。資料を書いたIan Tullisは、高校では底10だった $lo g$ が大学の化学や生物では底 $e$ に変わり、計算機科学では底2も加わると振り返る。

ノート

辞典でも割れる省略

底の省き方は、辞典どうしでも食い違う。コトバンクで引くと、デジタル大辞泉の「自然対数」には「ふつう底を略してlog xと書く」とあり、ブリタニカ国際大百科事典小項目事典の「常用対数」には「普通底の10を省略して、単にlog xで表わす」とある。

どちらかが誤りというより、書き手の分野が違うのだろう。Wolfram MathWorldによると、電卓と初等的な教科書では $lo g x$ が底10を指し、数学者と程度の高い数学書では自然対数を指す。新潟大学の資料はもっとはっきりしていて、 $lo g$ を自然対数として扱うのは「数学の世界だけのこと」で、化学を含む多くの分野では常用対数だという。

日本の高校は、この2つをまたぐ。文部科学省の学習指導要領解説では、数学IIの用語に $lo g_{a} x$ と常用対数が、数学IIIの用語に自然対数と $e$ が入る。解説の例も、数学IIでは $lo g_{10} a$ と底を書き、数学IIIの微分法では $lim_{x \to + 0} x lo g x$ と底を書かない²。

このずれは教室で事故を起こす。東京工科大学の江頭靖幸教授は2015年のブログで、化学工学の授業で自然対数を $lo g$ と書いたところ、小テストで常用対数と取り違える学生が続出したと明かしている。話を聞くと「関数電卓でLOGのボタンを使って計算した」のだった。

規格では、底ごとに記号が分かれている。米国NISTのSI使用ガイドSP 811には、国際規格ISO 31-11（後継はISO 80000-2）の記号として $lb x = lo g_{2} x$ 、 $ln x = lo g_{e} x$ 、 $l g x = lo g_{10} x$ が載っている。

ただ、 $l g$ も安心できない。MathWorldによると $l g x$ には「矛盾する意味がいくつかある」。ドイツやロシアの文献では底10、数論の文献の一部では底2だという。添字すら底とは限らず、イヴィッチの2003年の論文では $lo g_{2} x$ が $lo g lo g x$ を表す。

歴史

Log.からlnまで

記号の $lo g$ は、ピリオドを落としながら17世紀に今の形になった。ジェフ・ミラーの資料によると、Log.という略記は、ネイピアの本をエドワード・ライトが英訳した1616年の版に現れる。1624年のケプラーは大文字のLog.を使った。1632年のカヴァリエリは小文字のlog.、1647年版のオートレッド『Clavis mathematicae』はピリオドのないlogである。

底が10に決まったのは、記号より先である。対数の法則の記事にあるとおり、ネイピアとブリッグスは1615年の夏に、底を10にした表への作り直しで合意した。「自然対数」の名は少し遅れ、1659年のピエトロ・メンゴリの本にラテン語で現れる。

オイラーは1748年の『無限解析序説』のラテン語版で、自然対数を1文字の $l$ で書いた。

$ln$ の記号が確認できるのは、ずっと下って1893年である。アーヴィング・ストリンガムが『Uniplanar Algebra』で使った³。ライトの英訳のLog.から277年後だ。

使いどころ

1回打って底を見分ける

道具の底は、説明書を読むより $lo g 100$ を1回打つほうが早い。答えが2なら底10、4.605なら底 $e$ 、6.644なら底2である。

打つもの	底	答え
一般的な関数電卓のLOGボタン	10	2
Excelのセル`=LOG(100)`	10	2
Excel VBAの`Log(100)`	$e$	4.605…
Pythonの`math.log(100)`	$e$	4.605…
JavaScriptの`Math.log(100)`	$e$	4.605…
PostgreSQLの`log(100)`	10	2
SQLiteの`log(100)`	10	2
MySQLの`LOG(100)`	$e$	4.605…

表で目を引くのは、同じExcelの中でセルとVBAの底が違うことだろう。SQLも1つにまとまらず、SQLiteの文書には、他の多くのデータベースは自然対数だと断り書きがある。Python、Node.js、SQLite、MySQLは筆者の手元で動かし、ExcelとPostgreSQLは公式の文書で確認した。

底を指定できる書き方にも、落とし穴が2つある。まず引数の順番だ。ExcelのLOG(8, 2)とPythonのmath.log(8, 2)は真数が先で、PostgreSQLとMySQLとSQLiteのlog(2, 8)は底が先。順番を間違えると、3のはずの答えが0.333に化ける。

次に丸め誤差である。Pythonのmath.log(1000, 10)は、手順4の割り算で計算するので2.9999999999999996を返す。math.log10(1000)なら3.0だ。誤差の仕組みは0.1 + 0.2が0.3にならないのはなぜかで読める。

読み終えたら、次の順に手を動かすとよい。

答えに底が効く計算では、LOG10やLN、math.log2のように底が名前に入った関数へ書き換える。
本や問題文の $lo g$ は、添えられた数値で見分ける。 $lo g 2 = 0.693$ とあれば底 $e$ 、0.301なら底10である。
対数の法則で底を $c$ のまま進む証明を読み、ネイピア数の記事で $(lo g x)^{'} = 1/ x$ の出どころをたどる。

$lo g 100$ の答えが3つに割れても、測っている道のりは1本である。どの物差しで測ったのかさえ分かれば、3つの数は同じことを言っている。

参考文献

C. E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication", Bell System Technical Journal 27 (1948), 379-423, 623-656.
Jeff Miller, "Earliest Uses of Function Symbols"（Logarithm functionの項）, "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics"（LOGARITHM、NATURAL LOGARITHMの項）, MacTutor History of Mathematics, セント・アンドルーズ大学.
F. Cajori, A History of Mathematical Notations, Vol. I-II (Open Court, 1928-1929). 本体は未見。本文のカジョリにかかわる記述は文献2による孫引き.
NIST, Special Publication 811, Guide for the Use of the International System of Units (SI), 10.1.2 Standardized mathematical signs and symbols. ボルツマン定数の値はNIST, CODATA Value "Boltzmann constant". ISO 31-11からISO 80000-2への移行はWikipedia "ISO 31-11"による.
E. W. Weisstein, "Logarithm", "Natural Logarithm", "Lg", Wolfram MathWorld.
A. Ivić, "On a problem of Erdős involving the largest prime factor of n", arXiv:math/0311056 (2003).
L. Pauling, "The Structure and Entropy of Ice and of Other Crystals with Some Randomness of Atomic Arrangement", Journal of the American Chemical Society 57 (1935), 2680-2684. 本体は未見で、書誌はCrossrefで確認。測定値はW. F. GiauqueとJ. W. Stoutの0.82 cal/（deg·mol）で、B. A. Bergほか, arXiv:cond-mat/0609211による孫引き.
文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編理数編』数学II「指数関数・対数関数」（60、69ページ）、数学III「微分法」（76、83ページ）.
J. Duchi, Lecture Notes on Statistics and Information Theory, Stanford University, 2023年12月6日版. I. Tullis, "Prereq Review #1: Logarithms", Stanford CS161, Summer 2022.
金沢工業大学数理工教育研究センター「対数計算」. 新潟大学工学部木村研究室の講義資料「対数と指数」（2018年11月10日改訂）. 岐阜工業高等専門学校の計測工学の講義資料「最小二乗法3」. OneMathematicalCat.org, "Introduction to Logarithms".
デジタル大辞泉「自然対数」、ブリタニカ国際大百科事典小項目事典「常用対数」、日本大百科全書「自然対数」（竹之内脩）. いずれもコトバンクで確認.
江頭靖幸「logの底はいくつですか？」東京工科大学工学部応用化学科ブログ, 2015年9月1日.
Microsoftサポート, "LOG function". Microsoft Learn, "Log function"（VBA）. Python 3 Documentation, "math". MDN Web Docs, "Math.log()". PostgreSQL Documentation, "Mathematical Functions and Operators". MySQL 8.4 Reference Manual, "Mathematical Functions". SQLite, "Built-In Mathematical SQL Functions".

注

資料で確認できたのは「ログaのN」「ろぐ」「える・えぬ」と、英語のlog base、common log、natural logの形までで、表のほかの読みはこの形に当てはめた。英語の形は学習サイトOneMathematicalCat.orgによる。 ↩
解説は例をこう書いているだけで、底を省く決まりは示していない。教科書ごとの書き方までは確認していない。 ↩
この章の記号と呼び名の年は、ミラーの資料による。原典とカジョリ『数学記号の歴史』は開いていない。ケプラー、カヴァリエリ、オートレッド、ストリンガムの記述は、ミラーが同書を引いたものである。ミラーはストリンガムを最初の例とは書いていない。 ↩