Σ と ∫ の読み方

${\sum }_{k=1}^n{a}_k$ は「シグマ k イコール 1 から n まで a k」と読む。英語では "the sum of a sub k from k equals 1 to n" と読むことが多い。$k$ に 1, 2, 3, …, $n$ を順に入れた $a_k$ を、すべて足すという意味である。

各部分には名前がある(下の図)。$k$ は添字で、1 ずつ増える番号を表す。Σ の下の $k=1$ は下端で、どこから足し始めるか。上の $n$ は上端で、どこまで足すか。右の $a_k$ は一般項で、$k$ 番目に足すものである。

計算の例を 3 つ挙げる。${\sum }_{k=1}^{5}k=1+2+3+4+5=15$ である。上端を 100 にすると 5050 になり、1 から n までの和の公式 $\frac{n(n+1)}{2}$ を使えば一度で求まる。${\sum }_{k=1}^4{k}^2=1+4+9+16=30$ である。${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}$ の上端の $\infty$ は、「限りなく足し続けたときに近づく値」を表す。この値が $\frac{{\pi }^2}{6}=1.6449\dots$ であることを示したのがバーゼル問題で、100 項まで足しても 1.6350 にしかならない。

読み間違えやすい所が 3 つある。

添字の文字は何でもよい。 ${\sum }_{k=1}^{n}k$ と ${\sum }_{i=1}^{n}i$ は同じ和である。足し終えると $k$ は答えに残らない。このような文字をダミー変数(束縛変数)という。

$k$ を含まない項は $n$ 回足される。 ${\sum }_{k=1}^{n}3=3n$ であって、3 ではない。

2 乗の和と、和の 2 乗は違う。 ${\sum }_{k=1}^4{k}^2=30$ だが、${\left({\sum }_{k=1}^{4}k\right)}^2=10^2=100$ である。

${\int }_a^{b}f(x)dx$ は「インテグラル a から b まで f x dx(ディーエックス)」と読む。英語では "the integral from a to b of f of x dx" と読む。曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸の間の、$x=a$ から $x=b$ までの面積を表す。$x$ 軸より下にある部分は、負の面積として数える。

各部分の名前は次のとおりである(下の図)。∫ は積分記号、$a$ は下端、$b$ は上端、$f(x)$ は被積分関数(積分される関数)、$dx$ は「$x$ について積分する」ことを示す。$dx$ はもともと、隣り合う 2 つの $x$ のごく小さな差を表していた。そのため $f(x)dx$ は、高さ $f(x)$・幅 $dx$ の細い長方形の面積と読める。

例を挙げる。${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$ は、底辺 1・高さ 1 の三角形の面積である。${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$、${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$ である。ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }=1.7725\dots$ のように端が $\pm \infty$ のときは、端を遠くへ延ばしていったときに近づく値と読む。$-3$ から $3$ までに限っても 1.77241 で、$\sqrt{\pi }$ の 99.998 % になる。

ここにも読み間違えやすい所がある。

$dx$ を落とさない。 $dx$ が無いと、どの文字について積分するのかが分からない。${\int }_0^{1}xydx=\frac{y}{2}$ と ${\int }_0^{1}xydy=\frac{x}{2}$ は、答えが違う。積分の変数もダミー変数で、${\int }_0^1{x}^{2}dx={\int }_0^1{t}^{2}dt$ である。

端は $x$ の値である。 ${\int }_1^2$ の 1 と 2 は $x$ の範囲で、$f$ の値ではない。上と下を入れ替えると符号が変わり、${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$ となる。

端の無い ∫ は別のものを表す。 端を書かない $\int f(x)dx$ は不定積分といい、微分すると $f(x)$ になる関数(原始関数)を表す。答えは数ではなく関数で、$\int xdx=\frac{x^2}{2}+C$ のように定数 $C$ が付く。端のある形(定積分)と端の無い形が結びつくことを示すのが、微分積分学の基本定理である。

シミュレーションで $f(x)=x^2$、$n=10$ にすると、和は左端で 0.285、右端で 0.385、中点で 0.3325 になる。本当の値 $\frac{1}{3}=0.3333\dots$ との差は、左端が $-0.048$、右端が $+0.052$、中点が $-0.00083$ で、中点は 50 倍以上よく当たる。$n=100$ にすると、左端と右端の差は約 0.005 と 10 分の 1 になり、中点の差は $-0.0000083$ と 100 分の 1 になる。

理由は、1 本の長方形の中で曲線をほぼ直線とみると分かる。左端の高さを使うと、上り坂では長方形の右上に三角形の分だけ不足が出る。不足は 1 本につき $f^{\prime }(x)(\Delta x{)}^2/2$ ほどで、$n$ 本を合わせると $(f(b)-f(a))\Delta x/2$ ほどになる。$x^2$ で $n=10$ なら $(1-0)\times 0.1/2=0.05$ で、計算した $-0.048$ とほぼ合う。中点を使うと、真ん中より左の不足と右の余りが打ち消し合い、直線の部分の誤差が消える。残るのは曲がり具合 $f^{\prime \prime }$ による分で、全体で $(b-a)f^{\prime \prime }(\Delta x{)}^2/24$ ほどになる。$x^2$ なら $f^{\prime \prime }=2$ なので $1\times 2\times 0.01/24=0.00083$ で、計算した差と一致する。$f(x)=x$ のような直線では、中点の差はどの $n$ でもちょうど 0 になる。シミュレーションで $x^2$ を選ぶと、差のグラフで左端と右端の線の傾きが中点の線の半分になっているのは、このためである。$\sin x$ を $[0,\pi ]$ で選ぶと $f(b)-f(a)=0$ なので左端と右端の不足も打ち消し合い、3 本とも同じ傾きになる。そのときの左端と右端の差は、中点の差の約 2 倍で、符号が逆である。

2 つの S については、確かめたことと推測を分けておく。∫ が和(summa)の s であることは、ライプニッツ自身が 1675 年のノートに書いている(次の章)。Σ についてオイラーが書いたのは、「差を Δ で表したように、和は Σ で表す」という一文である。数学記号の歴史をまとめたカジョリは、オイラーがライプニッツの小文字 d の代わりに、対応するギリシャ文字 Δ を使ったと説明している。そう読むと、Σ と Δ の組は、ライプニッツの ∫ と d の組を、飛び飛びの値の和と差に移したものになる。ただし、オイラー自身がライプニッツにならったと書いた箇所は確かめられていない。ここは推測である。

この対応を言葉ではっきり書いたのは、1823 年のコーシーである。彼は和を $\sum f(x)\Delta x$ と書いたうえで、∫ は「このような和ではなく、和の極限」を表すために Σ の代わりに置いた文字だと説明した。Σ は有限個を足し、∫ は極限をとる。いまの読み方は、この時点で言葉になっていた。