対戦ゲームのレートはどう決まるのか、イロレーティングの計算

レートの数字そのものに、決まった目盛りはない。FIDEの規定は尺度を「任意のもの」（an arbitrary one）と書く。全員に100点ずつ足しても、誰が誰にどれだけ勝ちそうかは変わらない。

意味があるのは、2人の差だけである。

計算は、差から見込みを出す段と、結果と見込みのずれでレートを直す段の2つでできている。Aが1700点、Bが1500点の1局なら、5行で済む。

差を横軸、見込みを縦軸に描くと、S字の曲線が現れる。シグモイド曲線と呼ばれる形で、両端で寝て、真ん中で立ち上がる。

S字になる理由は、比の増え方にある。差が100点増えるたびに、比は$10^{1/4}\approx 1.78$倍になる。差の足し算が、比の掛け算に変わるのである。

この関係を直線に戻す記号がlogだ。${\log }_{10}x$は「10を何乗すると$x$になるか」を答える記号で、${\log }_{10}100=2$である。$r=10^{D/400}$を読み替えると、10を何乗すると$r$になるかの答えは$D/400$だと分かる。

比が小さいうちは、$r÷(r+1)$はほぼ$r$そのもので、見込みは掛け算で増えていく。比が大きくなると分母の1が効かなくなり、見込みは1に張りつく。その2つをなめらかにつないだものがS字である。

差を10点増やしたときの見込みの伸びを計算すると、変わり目がよく分かる。差0点では1.44ポイント伸びるのに、400点では0.46ポイント、800点では0.05ポイントしか伸びない。伸びは$E(1-E)$にほぼ比例する。¹

この形はロジスティック方程式と同じだ。ロジスティック方程式は、増える速さが今の量と上限までの残りの積に比例する、という式である。$E$を今の量、1を上限と読めば$E(1-E)$そのものだ。生き物の数が頭打ちになる曲線と、勝つ見込みの曲線は同じ式で書けるので、このS字はロジスティック曲線とも呼ばれる。

筆者は、$K$を大きくすれば強さの順に早く並ぶと思っていた。

そうはならなかった。同じ計算を400回繰り返して平均すると、10回戦の順位の相関は$K$が5でも40でも0.86、20回戦では0.92で、ほとんど変わらない。

初めのうちは、どの対局も見込みが50%に近いからである。$E=0.5$なら、勝てば$K/2$上がり、負ければ$K/2$下がる。だからレートは次の形に近く、順番を決めるのは勝ち数と負け数だけになる。

つまり$K$が変えるのは順番ではなく、点の開きだ。$K$が小さいと順番は合っているが、点が1500のまわりに固まったままで、差から勝率を読む役に立たない。$K$が大きいと、いったん追いついたあとも揺れ続ける。

ただし、これは全員が同じ点から始めたときの話である。16人に1300〜1700点を無作為に配って同じ計算をすると、10回戦の順位の相関は$K=5$で0.1、$K=20$で0.4、$K=40$で0.7に開く。間違った出発点を洗い流す速さを、$K$が決めるからだ。途中から入る新人はその典型である。

回戦の3列は平均のずれ（点）、右端の列は新人が本当の強さまでの差を半分埋める局数である。³

新人の局数は、$K$を2倍にするとほぼ半分になる。一方、1000回戦のずれは$K$を4倍にしても2倍ほどにしか増えない。

1局の動きは$K$に比例し、ずれが薄れるまでの局数は$1/K$に比例する。でたらめな動きは積み重なっても打ち消し合い、広がりは局数の平方根にしかならない（100局で10局ぶん）。だから揺れはおよそ$K\times \sqrt{1/K}=\sqrt{K}$に比例する。

長い目で見れば順位にも効いてきて、1000回戦の順位の相関は$K=10$で0.99、$K=80$で0.95だった。

FIDEの規定は$K$を3段に分ける。新人は30局を終えるまで40、18歳になる年の終わりまで2300点未満の選手も40。2400点未満は20で、2400点に一度届けば10になる。

理由は規定に書かれていないが、この表と並べると、追いつく速さがほしい人に大きな$K$を、揺れを抑えたい上位に小さな$K$を割り当てた形に見える。シミュレーションの「新人の30局はK=40」で、この新人の扱いを試せる。

ここまでの$K$は、人によらず固定だった。グリックマンは、この弱点を同じ1700点の2人で説明している。片方は長いブランクから復帰したばかりで、もう片方は毎週のように指す常連だ。復帰した人が勝つと、アメリカのチェス連盟の式ではどちらも16点動く。

けれども負けた常連にとって、信用できない1700点に負けたことから分かるのはごくわずかだと、グリックマンは書く。

同じ1勝でも分かることが違う。これを計算にするのがベイズの定理である。結果を見るたびに、どの強さがどれくらいありそうかを書き換える式で、対局に当てはめると次の形になる。

縦の棒は「〜と分かったうえで」と読む。左辺は、勝ったと分かったうえで、その強さである確率だ。

手で計算できるように、強さは1300、1500、1700の3通りしかないとする。1500点の相手に勝つ確率は、先の式で0.24、0.50、0.76である。対局の前の確率は説明のために筆者が決めた数で、新人は3通りを3分の1ずつ、常連は5%、90%、5%と見ておく。

新人の場合、右辺の分子は順に0.08、0.167、0.253で、合計の0.5が分母にあたる。0.5で割ると16%、33%、51%に変わり、3つの強さに確率を掛けて足した平均は1500点から1569点へ、1勝で69点上がる。常連の場合は同じ計算で2.4%、90%、7.6%となり、平均は1510点。上がるのは10.4点だけだ。

同じ1勝で7倍近い開きが出た。結果と見込みの差0.5で割って$K$に換算すると、新人は139、常連は21である。大きな$K$も小さな$K$も、どれくらい分かっているかの違いから出てくる。

山の形が今の見込みで、平均1500、標準偏差350から始まる。「勝った」を押すと山が右へ動いて細る。相手を1500点にしたまま勝ちと負けを交互に押すと、読み出しの「Kにあたる数」は1局目の425から、60局目には12まで下がる。

グリックマンが1995年に作ったGlickoは、この考えを手軽に計算できる式にしたものだ。各人にレートともう1つ、標準偏差で測った不確かさRDを持たせ、未登録の人はレート1500、RD 350から始める。シミュレーションの山と同じ出発点である。

RDは対局すると小さくなり、対局しないでいると大きくなる。本人の解説によれば、イロの式はGlickoの特別な場合にあたる。対局サイトLichessは改良版のGlicko-2を使い、案内によれば新人は1500±1000の幅から始まる。

ゲーム機の対戦で使われた例が、MicrosoftのTrueSkillである。Xbox Liveのために作られ、Halo 3からForza Motorsport 7まで多くのゲームで順位づけと組み合わせに使われたと、Microsoft Researchは説明している。

各人の強さを平均$\mu$（ミュー）と不確かさ$\sigma$の2つで持ち、2人の対局のあと、勝者の平均を次の式で直す（引き分けを考えない形）。

$\beta$（ベータ）は1局の調子の幅、$v$は結果の意外さで決まる数である。${\sigma }^2/c$がイロの$K$にあたり、Microsoftの説明も、$K$が不確かさの比で人ごとに変わる点を主な違いに挙げる。ただし目盛りは平均25が中心なので、数の大きさをFIDEの20とは比べられない。

論文にあるXbox Liveの設定（$\sigma$の初期値は25/3、$\beta$は25/6）で筆者が計算すると、新人どうしは5.27になる。常連の$\sigma$を仮に1.5とすると、常連どうしは0.36で、新人と常連が当たれば6.73と0.22に分かれる。

不確かな側だけが大きく動き、確かな側はほとんど動かない。固定の$K$では作れない動きだ。

組み合わせも同じ計算から出てくる。Microsoftの説明によれば、結果の見えた試合を楽しめる人は少ない。そこで、引き分けになりやすい相手ほどよい相手とする。論文によれば、結果が読めない対局ほど強さの情報も多い。つまり楽しい組み合わせと、よく分かる組み合わせは一致する。