GPSはどうやって現在地を求めるのか、衛星が4機要るわけ

円を縮める量は、式の引き算で求まる。衛星$i$の位置をまとめて${\mathbf{s}}_i$と書く。

1. $b$を左辺から右辺へ移して、両辺を2乗する。

   $$(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2+(z-z_i{)}^2=({\rho }_i-b{)}^2$$

2. 展開する。$r_i^2=x_i^2+y_i^2+z_i^2$とおくと、未知数の2乗$x^2+y^2+z^2$と$b^2$は、どの衛星の式にも同じ形で現れる。

   $$x^2+y^2+z^2-2(x_{i}x+y_{i}y+z_{i}z)+r_i^2={\rho }_i^2-2{\rho }_{i}b+b^2$$

3. 衛星$i$の式から衛星1の式を引くと、2乗の項が消え、未知数の1次式が残る。

   $$2(x_i-x_1)x+2(y_i-y_1)y+2(z_i-z_1)z-2({\rho }_i-{\rho }_1)b=r_i^2-r_1^2-({\rho }_i^2-{\rho }_1^2)$$

4. 衛星が4機なら、1次式が3本できる。$b$を決まった数とみて解けば、位置は$b$の1次式で表せる。

   $$(x,y,z)=\mathbf{p}+\mathbf{q}b$$

5. これを衛星1の式に戻すと、$b$の2次方程式が1つ残る。解は2つある。

   $$|\mathbf{p}+\mathbf{q}b-{\mathbf{s}}_1{|}^2=({\rho }_1-b{)}^2$$

平面の例なら、紙と鉛筆で最後まで追える。長さの単位を1,000 kmとし、受信機を原点に置く。衛星はS1$(-12,5)$、S2$(0,20)$、S3$(15,8)$で、本当の距離は13、20、17だ。受信機の時計は、距離に直して$b=4$、時間にして約13ミリ秒進んでいるとする。擬似距離は17、24、21。

6. 手順3の引き算を2回して、両辺を2で割る。

   $$12x+15y-7b=-28,27x+3y-4b=-16$$

7. $x$と$y$について解くと、どちらも$b$の1次式になる。

   $$x=\frac{13}{123}(b-4),y=\frac{47}{123}(b-4)$$

8. S1の式$(x+12{)}^2+(y-5{)}^2=(17-b{)}^2$に入れて整理する。

   $$(b-4)(12751b-424924)=0$$

1つ目の解$b=4$で、位置は原点に戻る。もう1つの解$b\approx 33.3$も方程式は満たすが、このとき擬似距離から$b$を引いた値は3機とも負になる。2乗したときに紛れ込んだ解で、距離としては意味を持たない。

3次元でも、2次方程式の解は2つ出る。筆者が東京の上空に4機を置いて計算すると、もう1つの解は地球の中心から約1万km、受信機から約1万7000 km離れた点で、やはり${\rho }_i-b$が負になった。欧州宇宙機関（ESA）の解説サイトNavipediaも、もう一方の解は地表から遠く離れると書いている。

衛星が5機以上あるときや、測った値に誤差があるときは、別の解き方もよく使われる。Navipediaの解説では、見当をつけた位置のまわりで距離の式を1次式に置き換え、最小二乗で解いて見当を改める。これを繰り返すのだ。地球の中心から始めても、数回で収まるという。筆者が東京の例で時計誤差を1ミリ秒にして試すと、4回目で位置の誤差は1 mmを切った。

擬似距離には、時計のほかにも誤差が乗る。同じ大きさの誤差でも、位置への響き方は衛星の並びしだいだ。その倍率がDOPで、みちびきの用語集が挙げる別名は「測位精度劣化係数」。

1. 見当をつけた位置のまわりで、距離の式を1次式に直す。${\mathbf{u}}_i$は受信機から衛星$i$へ向かう長さ1のベクトルである。

   $$\Delta {\rho }_i=-{\mathbf{u}}_i\cdot \Delta \mathbf{x}+\Delta b$$

2. 衛星の数だけ並べて行列で書く。$G$の各行は$(-{\mathbf{u}}_i^{\mathsf{T}},1)$で、衛星の向きだけで決まる。

   $$\Delta \mathbf{\rho }=G\Delta \mathbf{X},\Delta \mathbf{X}=(\Delta x,\Delta y,\Delta z,\Delta b{)}^{\mathsf{T}}$$

3. 最小二乗で解く。

   $$\Delta \mathbf{X}=(G^{\mathsf{T}}G{)}^{-1}{G}^{\mathsf{T}}\Delta \mathbf{\rho }$$

4. 擬似距離の誤差が互いに独立で、どれも標準偏差$\sigma$なら、解の共分散行列は次の形になる。

   $$\mathrm{Cov}(\Delta \mathbf{X})={\sigma }^2(G^{\mathsf{T}}G{)}^{-1}={\sigma }^{2}Q$$

5. 東、北、上の向きに取り直した$Q$の対角成分から、DOPを読む。位置の3成分ならPDOP、水平ならHDOP、上下ならVDOP、時計ならTDOPと呼ぶ。

   $$\mathrm{PDOP}=\sqrt{q_{EE}+q_{NN}+q_{UU}},\mathrm{VDOP}=\sqrt{q_{UU}}$$

GPSの標準測位サービス性能基準も、擬似距離の誤差にDOPを掛けて位置精度を見積もる式を基本にしている。

筆者が4機で計算してみた。1機を真上、3機を仰角5°に120°おきに置くと、PDOPは1.72、HDOPは1.16、VDOPは1.26。同じ4機を天頂のまわり20°以内に寄せ、3機を仰角70°にすると、PDOPは19.4まで跳ね上がった。崩れたのは水平より上下のほうで、VDOPは19.1、HDOPは3.4にとどまる。

衛星がどれも真上に近いと、受信機が1 m上がれば、どの擬似距離もほぼ1 m縮む。時計が1 m分進めば、どれも1 m延びる。2つの未知数が全部の衛星に同じように効くので、見分けがつきにくいのだ。4機をちょうど同じ仰角に並べると、$G$の上下の列が1の列に比例し、$G^{\mathsf{T}}G$の逆行列が存在しなくなる。仰角45°に90°おきに並べた例では、計算そのものが止まった。

地平線より下の衛星は使えないので、上下の向きはいつも片側からしか測れず、VDOPはHDOPより大きくなりやすい。性能基準の数字にも、その差が出ている。地球全体の平均で、95%の確率で水平8 m以内、垂直13 m以内。ただし、この基準は電離層と対流圏の遅れを補正した残りやマルチパス、受信機の雑音など、衛星と地上の管制では手の届かない誤差を数えていない。配置については、PDOPが6以下になる時間を地球全体で98%以上と定めている。