\frac{GM}{( d - R ) ^{2}} - \frac{GM}{d ^{2}} \approx \frac{2 GM R}{d ^{3}}

シミュレーションで見る

潮の満ち引きはなぜ1日に2回あるのか、月から遠い海も満ちるわけ

Why are there two high tides a day?

太陽は月の180倍の力で地球を引くのに、潮は月の半分しか起こせない。

月の引力は地球の近い側で強く、遠い側で弱く、その差が海を両側へ引き伸ばす。差が距離の3乗に反比例することを展開で導き、大潮と小潮、日潮不等、月が遠ざかるわけまでつなぐ。

種類: シミュレーションで見る
公式: 3 本
人物: アイザック・ニュートン、サミュエル・スターミー、ジーン・ディッキー
作成日: 2026-11-01
更新日: 2026-11-01
執筆・監修: 佐々木航

万有引力の法則テイラー展開運動方程式

場面

月から最も遠い海も満ちる

月から最も遠い海は、なぜ満ちるのか。月の真下にある海が引かれて盛り上がるのは分かりやすいが、地球をはさんだ反対側の海も、同じころに満ちる。答えは、月が引く強さそのものではなく、場所によって強さが違うことにある。満潮が1日に2回あるのは、どの海岸も、月の真下に戻ってくるまでの約24時間50分に、2つのふくらみを1回ずつくぐるからだ。

月が引く力は、近い側の海で強く、中心で中くらい、遠い側で弱い。地球全体が中心と同じ強さで月へ引かれているとみると、近い側の水はそれより強く月へ寄り、遠い側の水は引き方が足りずに取り残される。だから海は、月の向きの両側へ伸びる。

差で効く力は、意外な数字を生む。太陽は地球を、月のおよそ180倍の強さで引いている。それなのに、潮を起こす力は月の0.46倍しかない¹。

180倍が0.46倍に縮む。からくりは、距離の3乗。

考え方

地球ごと月へ落ちている

地球の中心も、月へ向かって落ち続けている。月と地球は、2つを合わせた重心のまわりを27.3日で回る。重心は地球の中心から約4,670 km、地表から1,700 kmほど下にあり²、地球の中心はこの点を回って小さな円を描く。円を描かせているのは月の引力で、運動方程式 $F = ma$ から、中心の加速度は月へ向かって $GM / d^{2}$ と決まる。 $M$ は月の質量、 $d$ は月までの距離、 $G$ は万有引力定数だ。

地球と一緒に動きながら眺めると、どの水にも、この加速度と同じ大きさで反対向きに、見かけの力が加わる。気象庁は潮汐の解説でこれを慣性力と呼び、用語集で「地球全体で一律に作用する」と説明している。同じ解説の注によれば、以前は「遠心力」としていた表記を、「正確な表現とするため」に改めたという。

なぜ遠心力という言葉は誤解を招くのか。よくある説明は、地球が重心のまわりを回るので、重心から遠い側ほど遠心力が強く、そこで海がふくらむ、というものだ。しかし、自転を別にすると、地球は重心のまわりを回るあいだ向きを変えず、平行に動いている。お盆を水平に持ったまま手で小さな円を描くと、お盆のどの点も同じ大きさの円を描く。地球も同じで、見かけの力はどこでも同じ大きさ、同じ向き。遠い側だけ強くなることはない。

差を生むのは月の引力のほうで、距離の2乗に反比例して場所ごとに強さが変わる。そこから一律の慣性力を差し引くと、近い側には月へ向かう力が、遠い側には月と反対へ向かう力が残る。横の水には、内向きの力が残る。月へ向かう引力が、中心のほうへわずかに傾いているためだ。この残りが潮汐力で、気象庁は起潮力と呼ぶ。

左は月の引力で、月に近いほど強い（長さの差は誇張）。右はそこから中心の引力を引いた潮汐力で、月の側と反対側では外へ、横では内へ向かい、海を月の向きに引き伸ばす。

ふくらみが2つできるのに、公転は要らない。地球と月がまっすぐ落ち合っているだけでも、近い側は中心より速く、遠い側は中心より遅く落ちるので、地球は月の向きに引き伸ばされる。2つが回っているのは、落ち続けてもぶつからないだけの横向きの速さがあるからにすぎない。

潮汐力はとても小さい。月の真下で $1.1 \times 1 0^{- 6}$ m/s²、重力のおよそ890万分の1だ。真上へ向かう成分は、重力をごくわずかに弱めるだけで終わる。海水を動かすのは、地表に沿った成分のほうだ。真下から45°ずれた所で最も強く、水を月の真下と反対側へ寄せ集める。

式

2乗の法則から3乗が出てくる

万有引力の法則によると、質量 $M$ の天体は、距離 $s$ にある1 kgの物体を強さ $GM / s^{2}$ で引く。地球の半径を $R$ とし、近い側と遠い側が中心よりどれだけ強く引かれるかを、 $R / d$ が小さいことを使って求める。月では $R / d = 1/60.3$ である。

近い側は中心より $R$ だけ月に近い。中心での引力をくくり出す。
$\frac{GM}{( d - R ) ^{2}} = \frac{GM}{d ^{2}} (1 - \frac{R}{d})^{- 2}$
$u = R / d$ とおき、 $(1 - u)^{- 2}$ を $u = 0$ のまわりでテイラー展開する。
$(1 - u)^{- 2} = 1 + 2 u + 3 u^{2} + 4 u^{3} + \dots$
中心の引力 $GM / d^{2}$ を引くと、1が消えて1次の項から残る。これが近い側の潮汐力である。
$\frac{GM}{( d - R ) ^{2}} - \frac{GM}{d ^{2}} = \frac{GM}{d ^{2}} (2 u + 3 u^{2} + \dots) \approx \frac{2 GM R}{d ^{3}}$
遠い側は $u$ を $- u$ に替えればよい。符号が逆になり、水は月と反対へ引かれる。
$\frac{GM}{( d + R ) ^{2}} - \frac{GM}{d ^{2}} \approx - \frac{2 GM R}{d ^{3}}$
横の点では、引力の大きさは中心とほぼ同じで、向きだけが中心のほうへ $R / d$ 傾く。内向きの成分は、近い側の半分になる。
$\frac{GM}{d ^{2}} \cdot \frac{R}{d} = \frac{GM R}{d ^{3}}$
月の向きに $x$ 軸、それと垂直に $y$ 軸をとり、地球の中心から見た位置を $(x, y)$ とすると、3〜5は1つの式にまとまる。
$a \approx \frac{GM}{d ^{3}} (2 x, - y)$

3乗が現れるのは、引力そのものではなく、引力が場所によってどれだけ変わるかを見ているからだ。つまり、 $GM / s^{2}$ を $s$ で微分した $- 2 GM / s^{3}$ に、距離の変化 $- R$ を掛けた量にあたる。

月の値を入れてみる。 $GM = 4.90 \times 1 0^{12}$ m³/s²、 $d = 3.844 \times 1 0^{8}$ m、 $R = 6.371 \times 1 0^{6}$ mとすると、手順3は $1.10 \times 1 0^{- 6}$ m/s²。2次の項を落としたずれは2.5%で、近い側は遠い側より5%ほど強い。

太陽では、 $GM$ が月の約2,700万倍、距離が約389倍になる。引力は $2.7 \times 1 0^{7}$ を $38 9^{2}$ で割って約180倍、潮汐力は $38 9^{3}$ で割って0.46倍。距離が10倍になるたびに、潮汐力は1,000分の1に落ちる。

式

満潮の高さを緯度と赤緯で書く

海が潮汐力に合わせて形を変え終えたとすると、海面は、重力と潮汐力を合わせた力にいつも垂直になる。この海面の形を平衡潮と呼ぶ。手順6の力を位置エネルギーで書き直すと、海面の高さが出る。

月の真下からはかった角を $θ$ 、地球の中心からの距離を $r$ とする。手順6の力は、1 kgあたり次の位置エネルギーを微分し、符号を変えたものである。
$Φ = - \frac{GM r ^{2}}{2 d ^{3}} (3 cos^{2} θ - 1)$
海面が $η$ だけ高いと、重力による位置エネルギーが $g η$ だけ増える。海面の上で $g η + Φ$ が一定になるとし、 $r = R$ と $g = G M_{E} / R^{2}$ を入れる。 $M_{E}$ は地球の質量で、定数は海水が増えも減りもしないように選ぶ。
$η = A \frac{3 cos ^{2} θ - 1}{2}, A = \frac{M}{M _{E}} (\frac{R}{d})^{3} R$
月では $A = 0.357$ m、太陽では0.164 m。月の真下と反対側で $+ A$ 、横で $- A /2$ だから、満潮と干潮の差は月だけで0.54 m、太陽だけで0.25 mになる。
観測点の緯度を $φ$ 、月の赤緯を $δ$ とする。赤緯は、天の赤道から南北へ測った月の位置だ。月が南中してから地球が回った角（時角）を $H$ とすると、球面三角法から
$cos θ = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos H$
4を2に入れて $cos^{2} θ$ を展開し、 $H$ の周期ごとに分ける。
$\frac{η}{A} = \frac{3}{4} cos^{2} φ cos^{2} δ cos 2 H + \frac{3}{4} sin 2 φ sin 2 δ cos H + \frac{1}{4} (3 sin^{2} φ - 1) (3 sin^{2} δ - 1)$

右辺の最初の項は半日で1周し、1日2回の満潮を作る。続く項は1日で1周する。この項に付く $sin 2 φ sin 2 δ$ は、赤道上（ $φ = 0$ ）でも、月が天の赤道上にいる日（ $δ = 0$ ）でも0になる。それ以外の日は、 $H = 0$ と $H = 180°$ で符号が入れ替わり、2回の満潮で高さがそろわない。これが日潮不等だ。月が北へ傾けば2つのふくらみも傾き、北緯35°の線は、近い側では頂上のそばを、遠い側では頂上から離れた所を通っていく。

北緯35°で $δ = 23.4°$ とすると、月だけの平衡潮では、南中するころの満潮が+0.34 m、12時間あまりあとは−0.03 mで、平均海面にも届かない。1日周期の係数が半日周期の4倍を超えると、2回目の満潮は消えてしまう³。係数の比は $4 tan φ tan δ$ なので、緯度が $90° - δ$ より高い海では満潮が1日1回になる。NASAの資料では、月の軌道が赤道となす角は18.28°から28.58°まで変わる。28.58°なら、北緯61.4°より北が当てはまる。

歴史

ブリストルの潮で月を量る

ニュートンは、この差で効く力から月の重さを量ろうとした。プリンキピア第3版の第3巻、命題37の題は「海を動かす月の力を求めること」。英訳者イアン・ブルースの注によれば、当時ニュートンが使えたのは、この不正確な方法だけだった。

手がかりは、イングランド西部の港町ブリストルから3マイル下流、エイボン川の河口で測った潮だった。サミュエル・スターミーが観測したところ、潮は春と秋の新月と満月のころに約45フィート、上弦と下弦のころは25フィート上がった。ニュートンは、前者を月と太陽の力の和、後者を差が生んだ高さとみて、 $(L + S) : (L - S) = 9 : 5$ とおいた。 $L$ と $S$ は、月と太陽が海を動かす力である。

この比のままなら $L / S = 3.5$ 。ニュートンはさらに、いちばん大きな潮が新月や満月から3回目、およそ43時間後に来ることや、上弦と下弦で月が赤道から離れていること、月までの距離の変化を補正に入れ、 $S : L = 1 : 4.4815$ を得た。系ではそこから、月は地球より密度が高く、その比は11対9だと見積もり、質量を地球の39.788分の1とした。

ところが、今の値は81.3分の1。ニュートンの月は2倍あまり重かった。NASAが示す質量と距離から潮を起こす力の比を出すと $L / S = 2.18$ だが、4.4815はその2倍を超える。ブルースも注で、およそ2倍の過大評価だと断っている。

ずれの大もとは、観測した場所にあったと筆者はみている。補正をかける前の3.5でさえ、今の値を6割上回る。ニュートン自身、系1で、浅い所を水が勢いよく出入りする港では潮が30、40、50フィートとふつうより大きくなると書いた。そうした海の満干が、月と太陽が潮を起こす力の比を、そのまま映すとは限らない。東京の潮位表で同じ計算をすると、今の値にずっと近い比が出る。

シミュレーション

月と太陽の向きを回す

「北極の上から見る」の図では、斜線の輪が赤道にある海、矢印が潮汐力を表し、月か太陽をたたくかドラッグするとその向きへ動く。海の高さは約220万倍に誇張した。「横から見る」の図は月だけがつくるふくらみで、横線が観測点の緯度を表す。両端の数字は、観測点が月に面した側と反対側で迎える海面の高さだ。2本の帯は観測点の潮位を前後2日と30日で描き、「1/4か月進める」で月齢が7.4日進む⁴。

考え方

2回の満潮がそろわない日

最初の画面は、春分の日に新月を迎えたところ。月と太陽が同じ向きに並び、矢印は月の向きで最も長く、赤道の海は細長く伸びた。観測点の緯度を0°にすると、30日の帯がいちばん読みやすい。満潮は新月と満月のころに+0.52 m、上弦と下弦のころは+0.2 mほどまで下がり、山の高さは14.8日ごとに波打つ。月と太陽がどちらも天の赤道上にあれば、満干の差は、大潮で $1.5 \times (0.357 + 0.164) = 0.78$ m、小潮で $1.5 \times (0.357 - 0.164) = 0.29$ m。比は2.7になる。

「リセット」で最初の画面に戻し、時間の進みを「止める」にしてから「1/4か月進める」を押すと、月は太陽から90°ずれた向きに来る。太陽の潮が、月がつくる山に谷を重ね、赤道の海はほとんど丸くなった。

このとき北緯35°では、満潮の高さが1回ごとに大きく違う。月の赤緯は+23.2°で、満潮は次が−0.09 m、その次が+0.26 m。高いほうは、観測点が月の側を通るときの満潮だ。南緯35°にすると、横から見た図で両端の数字が入れ替わり、高い満潮は月と反対側を通るときに来る。

北緯35°に戻して月の軌道を赤道に重ねる（傾き0°）と、同じ日の満潮は2回とも+0.11 mでそろった。逆に28.6°にすると2回目の満潮は消え、北緯35°でも満潮は1日1回になる。小潮のころは半日周期の山が小さく、1日周期の項が勝ちやすいからだ。気象庁も用語集で、日潮不等の原因を月の公転軌道面と地球の赤道面のずれに求め、極端になると満潮と干潮が1日に1回しか現れなくなることがある、と説明している。

もっとも、実際の海は平衡潮のとおりには動かない。NOAAの教材によると、ふくらみが西へ進もうとしても大陸にさえぎられるため、海盆ごとに潮は複雑な形になる。満干の差も、平衡潮の0.78 mでは収まらない。東京の大潮で2 mあまり、ブリストルでは45フィート、約14 m。だから気象庁は、長年の観測をもとに、主要4分潮を含む60の分潮を使って天文潮位を計算している。平衡潮から分かるのは、潮が繰り返す周期と、日潮不等を生む項の形のほうだ。

歴史

離れていく月と、延びる1日

潮は、月の軌道も少しずつ押し広げている。1969年7月21日、アポロ11号の飛行士が月面に光の反射器を置いた。地上の望遠鏡からレーザーを送り、戻るまでの時間を測れば、月までの距離が分かる。NASAによると、往復には平均でおよそ2.5秒かかり、距離は数ミリ以下の精度で求まる。

1994年、ジェット推進研究所のジーン・ディッキーらは、25年分の測定から分かったことをScience誌にまとめた。同じ年の月惑星研究所の会報で、ディッキーは、レーザーの測定で「月が地球からゆっくり遠ざかっていく速さを、高い精度で決められた」と語っている。会報によると、月は年に約3.8 cmずつ遠ざかっていて、地球の海洋潮汐が月の軌道に直接影響していることも分かった。今のNASAの資料にも、同じ値が載っている。

では、なぜ潮が月を遠ざけるのか。地球が1日で1回自転するあいだに、月は軌道の27.3分の1しか進まない。海底との摩擦などで、ふくらみは月の真下からずれ、自転の向き、つまり月より先へ運ばれる。月に近い側のふくらみは、月を公転の向きへわずかに前へ引く。前へ引かれた月は角運動量を受け取り、少しずつ外側の軌道へ移る。受け渡した分だけ、地球の自転は遅くなる。

角運動量の保存を使えば、この遅れも見積もれる。公転する月の角運動量は $M G M_{E} d$ で、距離の平方根に比例する。 $d$ が年に3.8 cm増えるとして、地球から月へ渡る角運動量を自転の遅れに直すと、1日は100年で約2.1ミリ秒延びる⁵。ただし、これは月へ渡る分だけで、太陽の潮で失う分は入れていない。

1日2回の満潮が、1日そのものを少しずつ長くしている。

使いどころ

潮位表でニュートンの計算をやり直す

ニュートンがブリストルの潮でした計算は、気象庁の潮位表があれば手元でやり直せる。筆者は、東京（晴海）の2026年11月の予測で試した⁶。

表の印を見ると、下弦は11月2日、新月は9日、上弦は17日、満月は24日である。
満干の動きがいちばん大きいのは、満月から1日たった25日だ。16時25分の満潮201 cmから23時30分の干潮−15 cmまで、216 cm下がる。
いちばん小さいのは、上弦の2日後の19日。満潮は13時に1回あるだけで161 cm、干潮は低いほうでも79 cm。1日に動く幅は82 cmにとどまる。
$216/82 = 2.63$ を $(L + S) / (L - S)$ とおくと、 $L / S = 3.63/1.63 = 2.2$ 。NASAの値から出した2.18とほぼ同じで、ブリストルの3.5とは大きく違う。

ニュートンが4.4815まで補正を重ねた比が、東京の表なら引き算と割り算だけで2.2になる。正直、ここまで近い値が出るとは思っていなかった。大潮が満月の当日でなく、1日ほど遅れて来ることも表から読める。スターミーが記録し、ニュートンが補正に入れた遅れと同じ向きだ。

日潮不等も表に出ている。25日は、2回の干潮が108 cmと−15 cmで、123 cmも違う。ところが、満潮のほうは198 cmと201 cmでほぼそろう。1日周期で寄せる潮の山が満潮時に重なれば満潮に、干潮時に重なれば干潮に、不等が出る。

満潮の時刻も、毎日きっちり50分ずつ遅れるわけではない。朝の満潮は、新月を迎えた9日から13日まで毎日36〜37分ずつ遅れ、上弦をはさむ15日から18日には59〜68分ずつ遅れた。太陽がつくる潮の山は、ちょうど12時間ごとに来る。大潮のころはこの山が満潮を引き留めて遅れを縮め、小潮のころは逆に遅れを広げるのだろう。

自分の港で同じ割り算をすると、港ごとに海の応え方が違うことが、数字で見えてくる。 $GM / r^{2}$ の出どころは万有引力の法則、手順2の展開はテイラー展開で読める。湾の形で潮が大きく育つ港を調べるなら、押す周期と揺れの周期が合うと揺れが積み上がるブランコの共振が入口になる。

月から最も遠い海が満ちるのは、月がそこを押しているからではない。そこだけ、引き方が少し足りないからである。

参考文献

I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 3rd ed., Book III, Propositions 36-37. I. Bruceによる英訳と注（17centurymaths.com、Book III Section III）
気象庁「潮汐の仕組み」「潮汐・海面水位に関する用語集」
気象庁「潮位表東京」2026年11月の満潮・干潮の予測
NOAA National Ocean Service, Tides and Water Levels: "What Causes Tides?", "Gravity, Inertia, and the Two Bulges", "Types and Causes of Tidal Cycles"
D. R. Williams, NASA NSSDCA, "Moon Fact Sheet", "Sun Fact Sheet", "Earth Fact Sheet"
J. O. Dickey, P. L. Bender, J. E. Fallerほか, "Lunar Laser Ranging: A Continuing Legacy of the Apollo Program", Science 265(5171) (1994), 482-490. doi:10.1126/science.265.5171.482（Crossrefの書誌とEurope PMCの抄録で確認）
"Apollo Laser Ranging Experiments Yield Results", LPI Bulletin No. 72（1994年8月。NASAゴダード宇宙飛行センターのサイトに転載）。NASA, "Laser Beams Reflected Between Earth and Moon Boost Science"（2020年8月10日）

注

当サイトの計算。NASAの資料にある質量（月 $7.346 \times 1 0^{22}$ kg、太陽 $1.9884 \times 1 0^{30}$ kg）と平均距離（月 $3.844 \times 1 0^{5}$ km、太陽 $1.496 \times 1 0^{8}$ km）から、質量の比 $2.707 \times 1 0^{7}$ を距離の比389.2の2乗で割ると179、3乗で割ると0.459になる。NOAAの教材も、太陽は月より2,700万倍重いが390倍遠いので、潮を起こす力は月のおよそ半分だとしている。 ↩
当サイトの計算。月までの38万4400 kmを、地球と月の質量比で分けた。 $384, 400 \times 0.07346/ (5.9722 + 0.07346) = 4, 671$ kmで、地球の半径6,371 kmより1,700 kmほど短い。 ↩
半日周期と1日周期の2項を $cos 2 H + r cos H$ と書くと、 $H$ で微分した式は $- sin H (4 cos H + r)$ になる。 $r < 4$ なら $H = 180°$ も極大で満潮が2回あり、 $r \geq 4$ では $H = 0$ の1回だけになる。 ↩
当サイトの設定。月と太陽の距離は平均値で一定とし、海は力に合わせて形を変え終えたとする（平衡潮）。月はつまみの角だけ赤道から傾いた円軌道を恒星月27.3217日で、太陽は23.44°傾いた道を365.2422日で回り、地球は23.9345時間で1回自転する。最初の画面は春分の日に迎えた新月で、月は天の赤道を南から北へ横切るところにいる。陸地と海底の地形は入れていない。 ↩
当サイトの計算。公転する月の角運動量 $J = M G M_{E} d$ から、1秒あたりの増え方は $J ˙ = (J /2 d) d ˙ = 4.5 \times 1 0^{16}$ N·m。これを地球の慣性モーメント $0.3308 M_{E} R^{2} = 8.0 \times 1 0^{37}$ kg·m²で割り、自転周期の延びに直した。係数0.3308はNASAの資料による。 ↩
気象庁「潮位表東京」の2026年11月の満潮・干潮。潮位は潮位表基準面からの高さで、気象の影響を含まない予測値（天文潮位）である。新月などの印も同じ表による。 ↩