ポインティング・ベクトル

この計算の道すじ。 記号と単位を読み（手順1〜4）、外積の向きと抵抗線の流れを図でつかむ。次に式で、抵抗線の$P=VI$（手順5〜9）、電磁波の流れ（手順10〜13）、太陽光の電場（手順14〜18）を確かめ、最後にマクスウェルの方程式から全体の収支を導く（手順19〜22）。

記号と単位を読む

公式の太字はベクトル、つまり向きと大きさを持つ矢印を表す。$\mathbf{E}$は電場の矢印、$\mathbf{B}$は磁場の矢印で、左辺の$\mathbf{S}$を流れの矢印と呼ぶことにする。流れの矢印の大きさは、流れに直角に置いた面積1 m²を1秒に通るエネルギーで、単位はW/m²である。

${\mu }_0$は真空の透磁率という定数で、ほぼ$4\pi \times 10^{-7}$ N/A²である。直線電流の式$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$を使うと、同じ単位をT·m/Aとも書ける。これを$\frac{EB}{{\mu }_0}$の単位に入れる。

1. 3つの量の単位を並べる

   $$\frac{(V/m)\times \mathrm{T}}{\mathrm{T}\cdot m/A}$$

2. Tを約分する

   $$\frac{V/m}{m/A}$$

3. 分母の分数をひっくり返して掛ける

   $$\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}\times \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}$$

4. V·AはW（ワット）なのでまとめる

   $$W/{\mathrm{m}}^2$$

1 W/m²は、1 m²の窓を1秒に1 J（ジュール）のエネルギーが通る強さにあたる。

図で納得する

式の$\times$は数の掛け算ではない。2本の矢印から3本目の矢印を作る計算で、外積と呼ぶ。ビオ・サバールの法則と同じ読み方で、$\mathbf{E}$から$\mathbf{B}$のほうへ右手の4本の指を巻くと、立てた親指の向き、つまり右ねじの進む向きが答えになる。

大きさは、2本のなす角$\theta$（シータ）の$\sin \theta$倍になる。$\sin \theta$は直角三角形の対辺÷斜辺で、$\sin 90°=1$、$\sin 0°=0$である。大きさだけを細字で書くと次の形だ。

$$S=\frac{EB\sin \theta }{{\mu }_0}$$

紙に垂直な矢印は、手前向きを丸に点、奥向きを丸にばつで描く。矢を前から見た先端と、後ろから見た羽根の形である。

なす角が90°のとき流れは最大で、2本を平行にすると消える。2本の矢印の順番が入れ替わるように回すと、流れは紙の手前から奥へひっくり返る。電場だけ、磁場だけの場所では、流れは0である。

抵抗線の側面で見る

電流を流す電場は、抵抗線に沿って同じ向きを向いている。表面のすぐ外でも、導線に沿う電場は中と同じ大きさだ。

一方、磁場は電流のまわりを回る。この2本の矢印を右手の決まりに当てはめると、どの場所でも流れの矢印は中心を指す。

斜線の帯が抵抗線で、右向きに電流が流れる。電圧か電流を2倍にすると、入る電力も2倍になる。矢印の長さは見やすいように大きさの平方根にしてある。

抵抗線の中で熱を出すのは、電場に押されて動く電子である。電子が受け取って熱に変えた分を、この流れが側面から補っている。エネルギーが導線の中を端から端へ運ばれて少しずつ減る、という絵とは、向きが直角に違う。

ヘヴィサイドが問題にしたのは、抵抗に届くまでの道である。多くの教科書は省くが、電池と抵抗を結ぶ導線の表面には電荷が並び、導線の間に電場を作る。この電場と磁場で、導線の間の空間に抵抗へ向かう流れができる。

導線に沿う流れは、側面へ入る流れよりはるかに大きいことがある。マタールとウェルティはその差を計算し、導線の断面を通る流れの合計が、その先で使う電力に等しいと示している。

式で確かめる

長さ$L$、半径$a$の抵抗線に、電圧$V$をかけて電流$I$を流す。側面へ入る量を決めるのは導線に沿う電場だけなので、導線の間の電場はこの計算に効かない。

5. 電場は電圧÷長さ

   $$E=\frac{V}{L}$$

6. 表面の磁場を直線電流の式で書く

   $$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$$

7. 流れの大きさを作り、${\mu }_0$を約分する

   $$\begin{array}{rl}S& =\frac{EB}{{\mu }_0}\\ & =\frac{V}{L}\times \frac{I}{2\pi a}\end{array}$$

8. 側面を切り開くと、横が円周で縦が長さの長方形になる

   $$A=2\pi aL$$

9. 流れに面積を掛ける

   $$\begin{array}{rl}SA& =\frac{VI}{2\pi aL}\times 2\pi aL\\ & =VI\end{array}$$

つまり、側面から入る量がちょうど電力$VI$になる。作った例で、長さ1.0 m、半径0.50 mmの電熱線に100 V、5.0 Aなら、$E=100$ V/m、$B=2.0\times 10^{-3}$ Tで、$S\approx 1.6\times 10^5$ W/m²となる。太陽光の1361 W/m²の約117倍の流れが、細い線の側面へ入っている。

電磁波の流れ

真空を進む電磁波では、電場と磁場は互いに直角で、進む向きにも直角である。大きさの比は光の速さ$c$で、$B=\frac{E}{c}$となる。どちらもマクスウェルの方程式の波の解から出て、光の速さは真空の誘電率${\epsilon }_0$を使って$c^2=\frac{1}{{\mu }_0{\epsilon }_0}$と書ける。

10. なす角は90°で、$\sin 90°=1$

    $$S=\frac{EB}{{\mu }_0}$$

11. $B=\frac{E}{c}$を入れる

    $$S=\frac{E^2}{{\mu }_{0}c}$$

12. $c^2=\frac{1}{{\mu }_0{\epsilon }_0}$を$\frac{1}{{\mu }_0}$について解く

    $$\frac{1}{{\mu }_0}=c^2{\epsilon }_0$$

13. 手順11に入れて$c$を約分する

    $$S=c{\epsilon }_0{E}^2$$

電場と磁場は振動して向きが逆になるが、2本がそろって逆を向くので、外積の向きは変わらない。だから流れは波の進む向きにだけ進む。

太陽光の電場を出す

太陽光の強さは、地球の軌道の上で約1361 W/m²である。国際天文学連合は2015年の決議で、この値を基準の値とした。

電場は時間で変わるので、流れは平均で考える。電場の2乗を時間で平均した値の平方根を実効値といい、$E_{\mathrm{eff}}$と書く。

14. 手順13を時間で平均する

    $$\overline{S}=c{\epsilon }_0{E}_{\mathrm{eff}}^2$$

15. 両辺を$c{\epsilon }_0$で割る

    $$E_{\mathrm{eff}}^2=\frac{\overline{S}}{c{\epsilon }_0}$$

16. $c$と${\epsilon }_0$の値を入れて分母を計算する

    $$\begin{array}{rl}c{\epsilon }_0& =2.998\times 10^8\times 8.854\times 10^{-12}\\ & =2.654\times 10^{-3}\end{array}$$

17. 1361を分母で割る

    $$\frac{1361}{2.654\times 10^{-3}}=5.128\times 10^5$$

18. 平方根をとる

    $$E_{\mathrm{eff}}\approx 716V/m$$

1本の正弦波とみなすと、振幅は$\sqrt{2}$倍の約1013 V/mになる。太陽光はいろいろな波長が混ざった光なので、振幅は目安で、716 V/mのほうが全体を表す値である。100 Vの電圧を14 cmの間にかけた電場の強さにあたり、思いのほか強い。

では磁場はどうか。実効値は$\frac{E_{\mathrm{eff}}}{c}\approx 2.4\times 10^{-6}$ Tで、1.0 Aの直線電流から10 cm離れた点の$2.0\times 10^{-6}$ Tに近い。

マクスウェルの方程式から

流れの式は、場所ごとのエネルギーの収支から導ける。$\nabla \times$はマクスウェルの方程式の回転で、$\nabla \cdot$は小さな箱から外へ出ていく量を表す発散である。$\mathbf{J}$は電流密度、つまり1 m²あたりの電流だ。

矢印どうしの$\cdot$は内積で、向きをそろえた成分の積を表す。$\frac{\partial }{\partial t}$は、場所を止めて時間での変化を見る記号である。使うのは次の2本で、上がファラデーの法則、下がアンペール・マクスウェルの法則だ。

$$\begin{array}{rl}\nabla \times \mathbf{E}& =-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\\ \nabla \times \mathbf{B}& ={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\end{array}$$

19. ファラデーの法則に$\mathbf{B}$を内積で掛ける

    $$\mathbf{B}\cdot (\nabla \times \mathbf{E})=-\mathbf{B}\cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

20. アンペール・マクスウェルの法則に$\mathbf{E}$を内積で掛ける

    $$\begin{array}{rl}& \mathbf{E}\cdot (\nabla \times \mathbf{B})\\ & ={\mu }_0\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}+{\mu }_0{\epsilon }_0\mathbf{E}\cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\end{array}$$

21. 手順19から20を引き、恒等式$\nabla \cdot (\mathbf{E}\times \mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot (\nabla \times \mathbf{E})-\mathbf{E}\cdot (\nabla \times \mathbf{B})$を使う

    $$\begin{array}{rl}& \nabla \cdot (\mathbf{E}\times \mathbf{B})\\ & =-\mathbf{B}\cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}-{\mu }_0\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}\\ & -{\mu }_0{\epsilon }_0\mathbf{E}\cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\end{array}$$

22. ${\mu }_0$で割り、$\mathbf{B}\cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial B^2}{\partial t}$と、$\mathbf{E}$の同じ形の式を使う

    $$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \mathbf{S}& =-\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{{\epsilon }_0{E}^2}{2}+\frac{B^2}{2{\mu }_0}\right)\\ & -\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}\end{array}$$

かっこの中は、1 m³あたりの電場と磁場のエネルギーである。手順22を読むと、箱の中で場のエネルギーが減った分は、流れの矢印で外へ出る分と、電流が受け取る分$\mathbf{J}\cdot \mathbf{E}$の和に等しい。抵抗線の計算は、この式の一例にあたる。

この式が直接決めるのは、閉じた箱を出入りする合計である。側面のどこを通ったかという話は、$\mathbf{S}$を流れとして読む見方に立っている。