ビオ・サバールの法則

式の$Id\mathbf{l}$は電流の短い部分で、電流素片と呼ぶ。$\hat{\mathbf{r}}$は素片から測る点へ向かう長さ1のベクトル、$r$はその距離である。大きさだけなら、$d\mathbf{l}$と$\hat{\mathbf{r}}$のなす角$\varphi$を使って$dB=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{dl\sin \varphi }{r^2}$と書ける。向きは右ねじの向きで、次の2つの例ではどの素片の磁場も同じ向きにそろうので、大きさをそのまま足せる。

まず直線である。$z$軸に沿う電流から距離$a$の点Pをとり、高さ$z$の素片を考える。素片とPの距離を$\rho$とする。

1. 素片$dz$がPに作る磁場を書く

   $$dB=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{dz\sin \varphi }{{\rho }^2}$$

2. 図形から$\sin \varphi$と$\rho$を読む

   $$\sin \varphi =\frac{a}{\rho },{\rho }^2=a^2+z^2$$

3. 代入する

   $$dB=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{adz}{(a^2+z^2{)}^{3/2}}$$

4. $z=a\tan \alpha$と置いて角に替える

   $$dz=\frac{ad\alpha }{{\cos }^2\alpha },a^2+z^2=\frac{a^2}{{\cos }^2\alpha }$$

5. 代入して約分する

   $$dB=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}\cos \alpha d\alpha$$

6. 導線の両端の角${\alpha }_1$から${\alpha }_2$まで積分する

   $$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}\left(\sin {\alpha }_2-\sin {\alpha }_1\right)$$

7. 無限に長い電流なので${\alpha }_1=-\frac{\pi }{2}$、${\alpha }_2=\frac{\pi }{2}$とする

   $$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}\times 2=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$$

円はもっと短い。半径$R$の円電流の中心では、どの素片も距離が$R$で、$d\mathbf{l}$は半径と直角である。

8. $\sin \varphi =1$、$\rho =R$を入れる

   $$dB=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{dl}{R^2}$$

9. 1周足すと$dl$の和は円周になる

   $$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R^2}\times 2\pi R$$

10. 約分する

    $$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$$

では、分母の違いはどこから来たのか。直線では$\frac{1}{4\pi }$に積分の2が掛かるだけで、$\pi$が残る。一方、円では円周$2\pi R$が掛かるので、$\pi$が消える。だから同じ電流で$a=R$なら、円の中心の磁場は直線の$\pi$倍になる。

高校の物理で扱うのは、文部科学省の解説によると、直線電流の回り、円形電流の中心、ソレノイドの内部の磁界である。磁場の強さ$H$を使って$H=\frac{I}{2\pi r}$、$H=\frac{I}{2R}$と書く形でも、真空なら$B={\mu }_{0}H$なので内容は同じだ。

中心から軸に沿って離れた点も、同じ足し算で届く。円の面から距離$z$の軸上では、素片が作る磁場のうち軸に沿う成分だけが残り、ほかは向かいの素片と打ち消し合う。

11. 素片までの距離と軸に沿う成分を書く

    $$d{B}_z=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{dl}{R^2+z^2}\cdot \frac{R}{\sqrt{R^2+z^2}}$$

12. 1周足す

    $$B_z=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+z^2{)}^{3/2}}$$

$z=0$を入れると手順10に戻る。