ポアソン方程式

高校の物理では、電界と電位の関係を、静電気力による位置エネルギーと結び付けて学ぶ。ポアソン方程式は、その電位を、電荷の分布から空間のすべての点で決める式で、大学の電磁気学で学ぶ。

この式の道すじ。 先に、記号の意味と「まわりの平均との差」という読み方を、図とシミュレーションでつかむ。次に、ガウスの法則から1行ずつ導き（手順1〜6）、${\nabla }^2$を差の式に直して、平均との差の形になることを確かめる（手順7〜10）。

図で納得する

$\varphi$（ファイ）は電位で、単位はV（ボルト）。1 Cの電荷をその場所に置いたときの、静電気力による位置エネルギーにあたる。地形の高さにたとえると、正の電荷は高い所から低い所へ押し出される。

$\rho$（ロー）は電荷密度で、1 m³あたりにある電荷（C/m³）を表す。${\epsilon }_0$（イプシロン・ゼロ）は真空の誘電率という定数で、2022年のCODATAの推奨値は$8.8541878188\times 10^{-12}$ F/mである。

クーロンの法則に出てくる比例定数は$1/(4\pi {\epsilon }_0)\approx 8.99\times 10^9$ N·m²/C²で、90億近い大きな数になる。${\epsilon }_0$がとても小さい数なので、わずかな電荷でも強い力を及ぼし、電位を大きく変える。

${\nabla }^2\varphi$は、その点の電位がまわりの平均からどれだけずれているかを表す。まず、1本の線に間隔$h$で並んだ3点を考える。

電位が4、7、6と並んでいれば、まん中は両どなりの平均5より2だけ高い。線の上でのポアソン方程式は、この差が電荷密度に比例するという式になる（手順10と同じ考えで出る）。

$$\begin{array}{rl}& \varphi (x)-\frac{\varphi (x-h)+\varphi (x+h)}{2}\\ & \approx \frac{\rho h^2}{2{\epsilon }_0}\end{array}$$

間隔$h$が小さいほど、この式は正確になる。電荷の無い所では右辺が0なので、どの点も両どなりの平均に等しく、電位は1本の直線になる。正の電荷がある所だけが、平均より高く盛り上がる。

どの点も「両どなりの平均＋電荷の項」に置き換える計算をくり返すと、形がだんだん落ち着く。落ち着いたとき、電荷のある点では差がちょうど電荷の項になり、電荷の無い点では差が0になる。電荷を一様に広げると放物線の山に、まん中に集めると三角の山になる。

空間では、前後・左右・上下の6つの隣と比べる。間隔$h$で6点を取り、その平均を${\varphi }_{\text{平均}}$と書くと、ポアソン方程式は次の形になる。

$$\varphi -{\varphi }_{\text{平均}}\approx \frac{\rho h^2}{6{\epsilon }_0}$$

電荷の無い空間では、どの点の電位もまわりの平均と同じになる。だから電荷の無い所に、まわりのどこよりも高い山の頂上や、どこよりも低い谷底はできない。電位の山の頂上ができるのは、正の電荷がある所だけだ。

式で確かめる

$\partial \varphi /\partial x$は、$y$と$z$を止めて$x$だけを動かしたときの、$\varphi$の変わり方（傾き）を表す（偏微分）。3つの向きの傾きを並べたものを$\nabla \varphi$と書く。電位の坂がどの向きに、どれだけ急に下っているかを表す量だ。$\nabla \cdot \vec{E}$は、その点から電場$\vec{E}$がどれだけ湧き出しているかを表す（発散）。

1. 電荷から電場が湧き出す、ガウスの法則を書く

   $$\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

2. 電場は電位の坂を下る向きなので、勾配にマイナスを付ける

   $$\vec{E}=-\nabla \varphi$$

3. 2を1に代入する

   $$\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

4. マイナスを外に出す

   $$-\nabla \cdot \nabla \varphi =\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

5. $\nabla \cdot \nabla$を${\nabla }^2$と書く

   $$-{\nabla }^2\varphi =\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

6. 両辺に$-1$を掛ける

   $${\nabla }^2\varphi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

手順1のガウスの法則は、マクスウェル方程式の1本目である。手順5の${\nabla }^2$を成分で書くと、3つの向きの2階の偏微分（傾きの変わり方）の和になる。

$$\begin{array}{rl}{\nabla }^2\varphi & =\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}\\ & +\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}\end{array}$$

では、傾きの変わり方を点の値で書くとどうなるか。右側の傾きから左側の傾きを引き、$h$で割ればよい。

7. $x$の向きの2階の偏微分を、点の値の差で近づける

   $$\begin{array}{rl}& \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}\\ & \approx \frac{\varphi (x+h)-2\varphi (x)+\varphi (x-h)}{h^2}\end{array}$$

8. $y$と$z$の向きも同じ形で書いて足し、6つの隣の値の和を$S_6$とおく

   $${\nabla }^2\varphi \approx \frac{S_6-6\varphi }{h^2}$$

9. 6でくくり、$S_6÷6$を${\varphi }_{\text{平均}}$と書く

   $${\nabla }^2\varphi \approx \frac{6}{h^2}\left({\varphi }_{\text{平均}}-\varphi \right)$$

10. 手順6の式に入れ、両辺に$-h^2/6$を掛ける

    $$\varphi -{\varphi }_{\text{平均}}\approx \frac{\rho h^2}{6{\epsilon }_0}$$

手順7に4、7、6と$h=1$を入れると、$(6-2\times 7+4)÷1=-4$で、傾きの図の−4と一致する。つまり、手順9の形から、${\nabla }^2\varphi$は「まわりの平均−自分」に比例する量だと読める。$h$を小さくするほど、近似の式は元の式に近づく。