たすき掛けの因数分解

$p{x}^2+qx+r$を$(ax+b)(cx+d)$に分けたいときは、右辺を展開して係数を見比べる。

1. 分配法則で4つの積に分ける

   $$(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+adx+bcx+bd$$

2. $x$の項をまとめる

   $$(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$$

3. $p{x}^2+qx+r$の係数と見比べて3つの条件にする

   $$ac=p,bd=r,ad+bc=q$$

$6x^2+x-12$なら$p=6$、$q=1$、$r=-12$で、$a$と$c$は正にそろえてよい。2つの1次式を入れ替えても同じなので、$ac=6$の組は$(1,6)$と$(2,3)$で足りる。ただし、$bd=-12$は負だから、$b$と$d$の符号は逆になる。つまり、斜めに掛けた$ad$と$bc$も符号が逆で、その和の大きさは絶対値どうしの差に等しい。符号はあとに回し、2つの積を絶対値で比べて、差が1になる組を表で探せばよい。

$b$、$d$の絶対値	$a=1$、$c=6$	$a=2$、$c=3$
1と12	6（×）	21（×）
2と6	6（×）	6（×）
3と4	14（×）	1
4と3	21（×）	6（×）
6と2	34（×）	14（×）
12と1	71	34（×）

差が1になるのは、$a=2$、$c=3$で絶対値が3と4の1か所しかない。和を$+1$にするには大きいほうの積9を正にとるので、$b=3$、$d=-4$と決まり、$(2x+3)(3x-4)$が出た。

表の（×）は、1次式の係数に共通の約数が出てしまう組を示す。たとえば$a=1$、$c=6$で$d$の絶対値が4なら、$6x\pm 4$は2でくくれる。ところが、$6x^2+x-12$の係数6、1、−12には1より大きい共通の約数がなく、そうした因数は現れない。だから、（×）を先に外せば、調べる組は12から2に減る。

符号の決め方も、$a$と$c$を正にしておけば2通りで済む。$r>0$なら$b$と$d$は同じ符号で、その符号は$q$と同じ。$r<0$なら符号は逆になり、絶対値の大きいほうの積に$q$の符号を付ける。

では、表を全部埋めても差が合わないときは、どこで諦めればよいのか。答えは、判別式$D=q^2-4pr$で先に分かる。

4. 判別式に3つの条件を入れる

   $$D=(ad+bc{)}^2-4\cdot ac\cdot bd$$

5. 2乗を展開する

   $$D=a^2{d}^2+2abcd+b^2{c}^2-4abcd$$

6. $abcd$の項をまとめて差の2乗にする

   $$D=(ad-bc{)}^2$$

整数で分かれるなら、判別式は斜めに掛けた2つの積の差を2乗したものだから、必ず平方数になる。$6x^2+x-12$の判別式も、$D=1+288=289$で17の2乗だ。逆に、係数が整数の2次式で$D$が平方数なら、解の公式の根号が外れて2つの解は有理数になり、係数が整数の1次式の積に組み直せる。解は$\frac{-1\pm 17}{12}$、つまり$\frac{4}{3}$と$-\frac{3}{2}$なので、ここから$(3x-4)(2x+3)$を組み立ててもかまわない。

近道がもう1つある。$ad$と$bc$を掛けると、どの組でも$ac\cdot bd=pr$になるのだ。和が$q$で積が$pr$の2数を探すと考えれば、$-72$の約数の組から$-8$と$9$がすぐに見つかるはずだ。

$D$が平方数でなければ、表を探さずに打ち切ってよい。たとえば、$2x^2+5x+1$は$D=17$で、整数の範囲では分かれない。このときは二次方程式の解の公式に進み、$x=\frac{-5\pm \sqrt{17}}{4}$と求めるのが早い。