面心立方格子

単位格子の1辺の長さを格子定数$a$、原子の半径を$r$とし、原子を同じ大きさの球と考える。最初に数えるのは、1つの単位格子に入る原子の数。

1. 角の原子8個は$\frac{1}{8}$ずつ入る

   $$\frac{1}{8}\times 8=1$$

2. 面の中心の原子6個は$\frac{1}{2}$ずつ入る

   $$\frac{1}{2}\times 6=3$$

3. 足し合わせる

   $$\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{2}\times 6=4$$

角の原子は8つの単位格子で分けあうが、面の中心の原子を分けあうのは、境をはさむ2つの単位格子だけだ。だから6面ぶんで3個にもなり、角の1個と合わせて4個になる。

では、角の原子と面の中心の原子は、どこで触れ合うのか。1つの面を取り出すと、角の4つの原子と中心の原子が、面の対角線に沿って並んでいる。

4. 面の対角線を三平方の定理で出す

   $$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$$

5. 対角線に半径、直径、半径が並ぶ

   $$\sqrt{2}a=r+2r+r=4r$$

辺の上はどうか。$r=\frac{\sqrt{2}}{4}a\approx 0.354a$なので、辺の両端の原子のあいだには$a-2r\approx 0.29a$のすき間が残る。辺の中点は、あとで数える正八面体のすき間にあたる。

6. 原子4個の体積を単位格子の体積で割る

   $$\frac{4\times \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}$$

7. $r=\frac{\sqrt{2}}{4}a$を代入する

   $$\frac{4\times \frac{4}{3}\pi {\left(\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)}^3}{a^3}=\frac{\pi }{3\sqrt{2}}\approx 0.740$$

この値に届く詰め方は、ほかにもある。面心立方格子を立方体の体対角線に垂直な面で切ると、球が正三角形の網目に並んだ層が現れる。この層を、上の球が下の層のくぼみに収まるように重ねると、くぼみの選び方は2通りある。3層ごとにくり返すABCABCの積み方が面心立方格子で、2層ごとにくり返すABABの積み方が六方最密構造だ。どちらも1つの球が12個の球に接し、充塡率は同じ$\frac{\pi }{3\sqrt{2}}$になる。これより密な詰め方がないと証明されるまでの長い道のりは、8次元の球の詰め込みで追える。

詰まりきらない残りの26%は、形の違う2種類のすき間に分かれている。

8. 単位格子を8つの小さな立方体に分け、その中心が正四面体のすき間

   $$8\text{個}$$

9. 単位格子の中心と12本の辺の中点が正八面体のすき間

   $$1+\frac{1}{4}\times 12=4\text{個}$$

10. 正八面体のすき間に入る球の半径を、辺の上で出す

    $$a=2r+2x⟹x=(\sqrt{2}-1)r\approx 0.414r$$

11. 正四面体のすき間は、小さな立方体の中心から角までで出す

    $$\frac{\sqrt{3}}{4}a-r=\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-1\right)r\approx 0.225r$$

辺の中点は4つの単位格子で分けあうので、手順9では$\frac{1}{4}$を掛けた。つまり、原子4個と正四面体のすき間8個、正八面体のすき間4個で、数の比は1 : 2 : 1になる。

密度も、この原子4個から出る。$M$をモル質量（g/mol）、$N_A$をアボガドロ定数とする。

12. 原子4個の質量を単位格子の体積で割る

    $$\rho =\frac{4M}{N_A{a}^3}$$