体心立方格子

格子定数$a$は単位格子の1辺の長さ、$r$は原子の半径で、原子は同じ大きさの球とみなす。まずは、1つの単位格子に原子が何個入るかを数える。

1. 角の原子8個は$\frac{1}{8}$ずつ入る

   $$8\times \frac{1}{8}=1$$

2. 中心の1個を足す

   $$1+\frac{1}{8}\times 8=2$$

角の1点には、まわりから8つの単位格子が集まっている。だから、そこにある球は8つに切り分けられ、どの単位格子にも$\frac{1}{8}$ずつしか入らない。

では、原子はどの向きで接しているのか。向かい合う2本の辺を含むように立方体を切ると、断面は横が面の対角線、縦が辺の長方形になる。

3. 面の対角線を三平方の定理で出す

   $$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$$

4. 面の対角線と辺から体対角線を出す

   $$\sqrt{(\sqrt{2}a{)}^2+a^2}=\sqrt{3}a$$

5. 体対角線に半径、直径、半径が並ぶ

   $$\sqrt{3}a=r+2r+r=4r$$

辺の上で接しないことも、数で確かめられる。$r=\frac{\sqrt{3}}{4}a\approx 0.433a$だから、辺の両端にある原子の半径を足しても$0.866a$で、$a$に届かない。

ここまで分かれば、原子が占める体積の割合も出せる。

6. 原子2個の体積を単位格子の体積で割る

   $$\frac{2\times \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}$$

7. $r=\frac{\sqrt{3}}{4}a$を代入する

   $$\frac{2\times \frac{4}{3}\pi {\left(\frac{\sqrt{3}}{4}a\right)}^3}{a^3}=\frac{\sqrt{3}\pi }{8}\approx 0.680$$

体積の約68%を原子が占め、残る32%はすき間だ。面心立方格子なら74%になるので、体心立方格子のほうが少しすかすかしている。同じ球を空間にどう詰めるかという問いは、8次元の球の詰め込みまで続いている。

最後に、単位格子の質量を体積で割ると密度が出る。$M$はモル質量（g/mol）、$N_A$はアボガドロ定数である。

8. 原子2個の質量を体積で割る

   $$\rho =\frac{2M}{N_A{a}^3}$$

9. $N_A$について解く

   $$N_A=\frac{2M}{\rho a^3}$$