銀河の回転曲線

道すじ。 星を、銀河の中心を囲む円の上を回る点とみなす。回り続けるのに要る中心向きの力と、内側の質量が引く力を等しいと置き、式を出す（手順1〜6）。太陽系に数を入れたあと、式を逆向きに読んで、速さから質量を出す（手順7、8）。

4つの文字

$r$は、銀河の中心から星までの距離である。$v(r)$はその距離の所を回る星やガスの速さで、距離を決めると速さが1つ決まるという意味で、かっこの中に$r$を書く。このかっこは掛け算ではない。

$M(r)$は、中心から距離$r$より内側にある質量の合計だ。星もガスも、光らない物も全部入る。$G$は万有引力定数と呼ぶ決まった数で、$6.674\times 10^{-11}$ N·m²/kg²である。ルートの記号x​は、2乗すると中の数になる数を表す。たとえば$\sqrt{9}=3$だ。

外側の質量は、なぜ数えなくてよいのか。質量が球の形に広がっているなら、外側の殻が引く力は打ち消し合って0になる。近い側は量が少ないが近くから引き、遠い側は量が多いが遠くから引くからだ。

もっとも、銀河の円盤は球ではないので、打ち消し合いは完全ではない。銀河ではこの式は目安で、精密な計算では円盤の形を入れて解く。

引く力が向心力になる

1. 質量$m$の星が半径$r$の円を速さ$v$で回り続けるには、中心向きに次の力が要る。この力を向心力という

   $$F=\frac{m{v}^2}{r}$$

$v^2/r$は円運動の加速度で、導き方は万有引力の法則の証明で読める。

2. 内側の質量$M(r)$が星を引く力を、万有引力の法則で書く

   $$F=\frac{GM(r)m}{r^2}$$

3. 引く力が要る力とちょうど等しいとき、星は同じ円を回り続ける。2つの式を等号で結ぶ

   $$\frac{m{v}^2}{r}=\frac{GM(r)m}{r^2}$$

4. 両辺を$m$で割る。星の質量が消える

   $$\frac{v^2}{r}=\frac{GM(r)}{r^2}$$

5. 両辺に$r$を掛ける。右辺の分母の$r^2$が$r$になる

   $$v^2=\frac{GM(r)}{r}$$

6. 両辺の平方根をとる。速さは正なので、正のほうを残す

   $$v=\sqrt{\frac{GM(r)}{r}}$$

手順4で$m$が消えたので、同じ距離にある星は、重くても軽くても同じ速さで回る。

地球で数を入れる

太陽のまわりでは、内側の質量はほぼ太陽1つだけだ。太陽の質量$M=1.989\times 10^{30}$ kgと、太陽から地球までの距離$r=1.496\times 10^{11}$ mを入れる。数の部分と、10の右肩の数を分けて計算する。10の何乗どうしを掛けると右肩の数は足し算に、割ると引き算になる。

$$\begin{array}{rl}GM& =6.674\times 10^{-11}\times 1.989\times 10^{30}\\ & \approx 13.27\times 10^{19}=1.327\times 10^{20}\end{array}$$

$6.674\times 1.989\approx 13.27$で、右肩の数は$-11+30=19$になる。続いて$r$で割る。数の部分は$13.27÷1.496\approx 8.87$、右肩の数は$19-11=8$である。

$$\frac{GM}{r}=\frac{13.27\times 10^{19}}{1.496\times 10^{11}}\approx 8.87\times 10^8$$

$8.87\times 10^8$を$887\times 10^6$と書き直すと、平方根がとりやすい。$\sqrt{887}\approx 29.8$で、$1000\times 1000=10^6$なので$\sqrt{10^6}=1000$である。

$$v\approx 29.8\times 1000=29,800\text{m/s}$$

秒速29.8 kmで、NASAの資料にある地球の平均の速さと同じ値になった。

太陽系は外ほど遅い

内側の質量が太陽1つで変わらないなら、速さを決めるのは$r$だけだ。$r$が4倍になると、$\sqrt{4}=2$なので速さは半分になる。$v$は$\sqrt{r}$に反比例する。

惑星	距離（億km）	速さ	式の値
水星	0.579	47.4	47.9
金星	1.082	35.0	35.0
地球	1.496	29.8	29.8
火星	2.280	24.1	24.1
木星	7.785	13.1	13.1
土星	14.32	9.7	9.6
天王星	28.67	6.8	6.8
海王星	45.15	5.4	5.4

距離は太陽からの平均の距離、速さはNASAの惑星の資料にある平均の値（km/s）で、右の列は$v=\sqrt{GM/r}$で出した値である。海王星は地球の30.2倍遠いので、$\sqrt{30.2}\approx 5.49$で割ると$29.8÷5.49\approx 5.4$ km/sになる。水星だけ少しずれるのは、軌道が円からかなりつぶれているからだ。

速さから質量を逆算する

式を逆向きに読むと、回る速さから内側の質量が出る。

7. 手順5の両辺に$r$を掛ける

   $$v^{2}r=GM(r)$$

8. 両辺を$G$で割り、左右を入れかえる

   $$M(r)=\frac{v^{2}r}{G}$$

$v$が$r$によらず同じなら、$v^2/G$も決まった数なので、$M(r)$は$r$に比例する。$r$を2倍にすると$M(r)$も2倍、3倍にすると3倍だ。

たとえば$v=220$ km/sで平らなら、半径10 kpcの内側には太陽の約1.13×10¹¹倍、20 kpcの内側にはその2倍の質量がある。太陽系では、外へ行っても内側の質量は太陽1つから増えない。だから惑星は外ほど遅い。つまり、銀河で速さが落ちないのは、光の弱い外側にも質量が増え続けているからだ。