ミューオンのg − 2

リングの中では、ミューオンの運動量の向きもスピンの向きも、磁場のまわりを回る。2つの回る速さの差を測れば、aが直接分かる。正の電荷$e$、質量$m$のミューオンが、一様な磁場$B$に垂直な面を速さ$v$で回るとし、$\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$をローレンツ因子とする。

1. 磁気モーメントはスピンに比例し、その係数にgが入る。ディラック方程式では$g=2$である。

   $$\mathbf{\mu }=g\frac{e}{2m}\mathbf{S},a=\frac{g-2}{2}$$

2. 運動量の向きは、ローレンツ力を向心力とする円運動で回る。相対論では運動量が$\gamma mv$になる。

   $$\frac{\gamma m{v}^2}{r}=evB⟹{\omega }_c=\frac{v}{r}=\frac{eB}{\gamma m}$$

3. ミューオンとともに動く座標系では、磁場は$\gamma B$に強まって見え、スピンはミューオン自身の時計で$ge\gamma B/2m$の速さで回る（ラーモアの歳差運動）。実験室では時間の進みが$\gamma$倍に延びて見える。

   $${\omega }_L=\frac{1}{\gamma }\cdot \frac{ge\gamma B}{2m}=\frac{geB}{2m}$$

4. 円を回るミューオンの座標系そのものも、相対論の効果で逆向きに回る（トーマスの歳差運動）。

   $${\omega }_T=-(\gamma -1)\frac{eB}{\gamma m}$$

5. 2つを足すと、実験室で見たスピンの回る速さになる。

   $${\omega }_s=\frac{geB}{2m}-(\gamma -1)\frac{eB}{\gamma m}$$

6. スピンの速さから運動量の速さを引くと、$\gamma$を含む項が消えて$a$だけが残る。$g=2$なら差は0で、スピンはいつまでも進む向きを向いたままになる。

   $${\omega }_a={\omega }_s-{\omega }_c=(\frac{g}{2}-1)\frac{eB}{m}=a\frac{eB}{m}$$

$\gamma$を大きくすると粒子はゆっくり回り、1周で開く角度$2\pi a\gamma$は大きくなるが、右の線の傾きは$a$だけで決まる。ビームの中でミューオンの速さが少しずつ違っても、差の速さは$a$と$B$だけで決まる。

7. 実際のリングでは、ミューオンが上下に散らないように電場$E$もかける。進む向きに垂直な電場があると、差の速さに$\beta =v/c$と$E$の項が加わる。E821の最終報告の式から、ベクトルの向きと全体の符号を省いて大きさだけを書いた。その係数は、$\gamma$がある値のときに0になる。

   $${\omega }_a=\frac{e}{m}[aB-(a-\frac{1}{{\gamma }^2-1}\left)\frac{\beta E}{c}\right]$$

8. 正のミューオンが陽電子と2つのニュートリノに崩壊するとき、エネルギーの高い陽電子はスピンの向きに出やすい。スピンが進む向きを向くたびに、検出器に届く高いエネルギーの陽電子が増える。$\gamma \tau$は実験室で見た寿命である。

   $$N(t)=N_0{e}^{-t/\gamma \tau }[1+A\cos ({\omega }_{a}t-{\varphi }_0)]$$

9. 磁場は、水の中の陽子が歳差運動する周波数${\omega }_p$で測る。周波数どうしの比をとれば、$e$も$B$も別に知らなくてよい（計算は次の章）。

   $$a_{\mu }=\frac{{\omega }_a}{{\omega }_p}\cdot \frac{{\mu }_p}{{\mu }_B}\cdot \frac{m_{\mu }}{m_e}$$

10. 標準理論の値は、電磁気力だけの寄与（QED）と弱い力の寄与（EW）に、ハドロンが仮想的に現れる2つの寄与を足したものである。ハドロンの寄与は、ハドロン真空偏極（HVP）とハドロン光・光散乱（HLbL）に分ける。

    $$a_{\mu }^{\mathrm{SM}}=a_{\mu }^{\mathrm{QED}}+a_{\mu }^{\mathrm{EW}}+a_{\mu }^{\mathrm{HVP}}+a_{\mu }^{\mathrm{HLbL}}$$

11. 実験と理論の差を、2つの不確かさを2乗して足した平方根で割る。この数$z$が、何σずれているかを表す。

    $$z=\frac{a_{\mu }^{\exp }-a_{\mu }^{\mathrm{SM}}}{\sqrt{{\sigma }_{\exp }^2+{\sigma }_{\mathrm{SM}}^2}}$$

$z$が2を超える差は、測定のゆらぎだけでは20回に1回ほどしか起きない。素粒子物理学では5σを超えたときに発見と呼ぶのが習わしで、2021年のフェルミ研の発表も、4.2σを5σに「少し届かない」と書いている。