素因数分解

360を2つの数の積に分ける方法は、$12\times 30$、$8\times 45$、$18\times 20$といくつもある。ところが、どの分け方から始めても、素数になるまで分け続けると、残るのは2が3個、3が2個、5が1個で、必ず同じになる。素数だけの積に直したこの形を素因数分解といい、積をつくる素数を素因数と呼ぶ。

手で分けるなら、小さい素数から順に割る「割り算のはしご」が速い。360なら、次の7行で終わる。

1. いちばん小さい素数2で割る

   $$360=2\times 180$$

2. 商の180をもう一度2で割る

   $$180=2\times 90$$

3. 90も2で割り切れる

   $$90=2\times 45$$

4. 45は2で割れないので、次の素数3で割る

   $$45=3\times 15$$

5. 15をもう一度3で割る

   $$15=3\times 5$$

6. 商の5は素数なので止め、割った数を並べる

   $$360=2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5$$

7. 同じ素数を累乗でまとめる

   $$360=2^3\times 3^2\times 5$$

小さい順に割るのには理由がある。2で割り尽くしたあとの商は、もう4でも8でも割り切れない。だから小さい順に進めば、割る数は自然に素数だけになる。止めどきにも目安がある。試す素数を2乗した数が残った商より大きくなったら、残りは素数だ。211は13までのどの素数でも割り切れないが、次の17は2乗すると289になり、211を超える。ここで211が素数だと決まり、それ以上割らなくてよい。

では、分け方によらず同じ素数が残るのはなぜか。決め手は『原論』の命題30の性質で、素数が積を割り切るなら、掛けたどちらかの数を必ず割り切る。5は$12\times 30$を割り切るので、12か30のどちらかを割り切り、実際に割り切るのは30だ。

仮に2通りの素因数分解があったとする。片方に出てくる素数は、もう片方の積を割り切るので、この性質を繰り返し使えば、もう片方の素数のどれかを割り切るはずだ。素数を割り切る素数はそれ自身しかないから、2つは等しい。等しい素数を両側から1つずつ消していけば、両側は同時に尽きる。つまり、2通りに見えた分け方は、並べる順が違うだけだった。

1を素数に入れないのも、この形を守るためである。1を素数とすれば、$6=2\times 3=1\times 2\times 3=1\times 1\times 2\times 3$と、分け方がいくらでも増えてしまう。

ただし、分け方が1通りに決まることは、どんな数の世界でも成り立つわけではない。整数に$\sqrt{-5}$を加えた$a+b\sqrt{-5}$の形の数では$6=2\times 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$となり、4つの数はどれもこれ以上分けられない。¹ 1847年にラメが発表したフェルマーの最終定理の証明は、この性質を、成り立つとは限らない数の範囲で使っていた。リウヴィルがその場で指摘したいきさつは、フェルマーの最終定理で読める。