ゼータ関数の零点密度（ガスとメイナードの30/13）

ここで追うのは、零点密度評価から、短い区間にある素数の個数を表す式が出るまでの筋道である。ガスとメイナードの論文の大半を占める大きな値の評価は、章の後半で考え方だけを追い、完全な証明は論文に譲る。対数は自然対数とする。$\Lambda (n)$は$n$が素数$p$の累乗なら$\log p$、それ以外なら0とする関数で、$\rho =\beta +i\gamma$はゼータ関数の自明でない零点とする。目標は$y=x^{\theta }$として次を示すことだ。

零点密度評価は、すべての$\sigma$で$N(\sigma ,T)\le T^{A(1-\sigma )+o(1)}$が成り立つ形で使う。$A$は$A(\sigma )$の最大値にあたる。

1. 明示公式で、区間の和を零点ごとの項$I_{\rho }$の和に書き換える（$2\le T\le x$）

   $$\begin{array}{rl}& \sum _{x<n\le x+y}\Lambda (n)\\ & =y-\sum _{|\rho |\le T}{I}_{\rho }\\ & +O\left(\frac{x(\log x{)}^3}{T}\right)\end{array}$$

2. $I_{\rho }=\frac{(x+y{)}^{\rho }-x^{\rho }}{\rho }$を積分で書き、大きさを抑える

   $$\begin{array}{rl}|I_{\rho }|& =\left|{\int }_x^{x+y}{t}^{\rho -1}dt\right|\\ & \le y{x}^{\beta -1}\end{array}$$

3. 零点を実部の値ごとにまとめる

   $$\begin{array}{rl}& \sum _{|\rho |\le T}y{x}^{\beta -1}\\ & \lesssim y(\log x)\\ & \times \underset{\sigma }{\sup }{x}^{\sigma -1}N(\sigma ,T)\end{array}$$

4. 零点密度評価を入れる

   $$\begin{array}{rl}& x^{\sigma -1}N(\sigma ,T)\\ & \le T^{o(1)}{\left(\frac{T^A}{x}\right)}^{1-\sigma }\end{array}$$

5. $T=x^{\tau }$とおき、指数を$1-\sigma$でくくる

   $$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{T^A}{x}\right)}^{1-\sigma }\\ & ={\left(x^{A\tau -1}\right)}^{1-\sigma }\\ & =x^{(1-\sigma )(A\tau -1)}\end{array}$$

6. $A\tau <1$なら、$\sigma <1$で指数は負になる

   $$\tau <\frac{1}{A}$$

手順5の指数$(1-\sigma )(A\tau -1)$は$\sigma$の1次式で、$\sigma =1$では必ず0になる。$\tau$が$1/A$より小さいかどうかで、線が丸ごと0の下に潜るか、上に出るかが決まる。あとの手順7で$\tau =1-\theta$ととるので、区間の指数$\theta$が$1-1/A$より大きいかどうかと言い換えてもよい。

ただ、$\sigma$が1に近いと$1-\sigma$が0に近づき、手順6の指数も0に近づいてしまう。そこで、実部が1に近い細い帯には零点が無いという、ヴィノグラードフとコロボフの結果を合わせて使う。論文は零点の和が$y\exp (-\sqrt[4]{\log x})$ほどに収まることを示している。

7. 手順1の誤差$x/T$を$y$より小さくするため、$T$を$x/y$より少し大きくとる

   $$T\approx \frac{x}{y}=x^{1-\theta }$$

8. 手順6と手順7から$1-\theta <1/A$となる

   $$\theta >1-\frac{1}{A}$$

9. $A=30/13$を入れる

   $$\theta >1-\frac{13}{30}=\frac{17}{30}$$

最後に部分和で$\Lambda (n)$の和を素数の個数に戻すと、$y\ge x^{17/30+\epsilon }$で$\pi (x+y)-\pi (x)=\frac{y}{\log x}(1+o(1))$が出る。論文の系1.3である。

手順8では、$A(\sigma )$の最大値を使った。どこか1つの$\sigma$で$A(\sigma )$が大きいと、区間の指数はそこで決まってしまう。イングハムとハクスリーの式を合わせると、最大は$\sigma =3/4$の12/5で、$\theta$は7/12だった。3/4のあたりが最も効くのは、そこが2本の線が作る山の頂だったからである。

では、$N(\sigma ,T)$そのものはどうやって数えるのか。

零点を、ディリクレ多項式の大きな値に置き換える。論文の第13節で使う係数$b_n$は、$\zeta (s)$に、メビウス関数$\mu (d)$で作った短い和${\sum }_{d\le X}\mu (d)d^{-s}$を掛けたときの係数にあたる。$1<n\le X$の係数は打ち消し合って0になり、積は$1+{\sum }_{n>X}{b}_n{n}^{-s}$に近い形になる。零点では積が0なので、後ろの和は$-1$に近い。すると多くの零点では、ある長さ$N$の部分${\sum }_{N<n\le 2N}{b}_n{n}^{-\rho }$が、$1/(3\log T)$以上の値をとる。そうならない零点は別の方法で数え、$T^{2-2\sigma }$個ほどで抑えられる。

係数を$N^{\sigma }$倍してそろえると、実部が$\sigma$以上の零点は、$t=\gamma$の近くで次の不等式を満たす点を1つずつ生む（新しい係数は$|{\tilde{b}}_n|\lesssim 1$）。

虚部が1以上離れた点だけを数えても、零点の数はせいぜい$\log T$倍しか変わらない。左辺の多項式を$D(t)$と書く。こうして$N(\sigma ,T)$は、$D(t)$が$N^{\sigma }$を超える、1ずつ離れた点の数で抑えられる。

数え方の基本は平均値定理である。$|D(t){|}^2$を1ずつ離れた点で足すと、およそ$(T+N)\sum |b_n{|}^2$で抑えられる。だから$N^{\sigma }$を超える点の数は$(T+N)N^{1-2\sigma }$ほどまでしか無い（例題4）。

ガスとメイナードは、そうした点の集まり$W$と整数$n$で作る行列$M_{t,n}=n^{it}$に目を向けた。多項式の値は行列とベクトルの積なので、大きな値の数は、$M$のいちばん大きい特異値で抑えられる。その特異値を$(M^{\ast }M{)}^3$のトレースで見積もるとき、ポアソン和公式を使ったあとの停留位相の計算を、あえて行わずにおく。すると問題は、$S(u)={\sum }_{t\in W}{u}^{it}$という和が打ち消し合うかどうかに移る。

$W$が等差数列のような規則的な並びだと、$S(u)$は打ち消し合わない。ただ、そのときは$w_1+w_2\approx w_3+w_4$となる組の数（加法的エネルギー）が大きくなり、ヒース＝ブラウンが1979年に示した評価が効く。2つの場合を組み合わせたのが、論文の定理1.1だ。

$R$は長さ$N$の多項式が1ずつ離れた点で$V$を超える回数である。ガスとメイナードによれば、この議論は係数が$|b_n|\le 1$を満たすことに頼っていて、2乗の和を抑えるだけの弱い条件では、同じ結果を出す方法が分かっていない。