分母の有理化

この計算の道すじ。 分母と分子に同じ数$\sqrt{a}-\sqrt{b}$を掛ける（手順1〜2）。分母に中学校の乗法公式を使うと、根号のついた数が2乗されて中の数に戻る（手順3〜5）。最後に、$a$が$b$より小さいときの分母の符号を整える（手順6〜8）。

根号$\sqrt{a}$は、2乗すると$a$になる正の数を表す。$\sqrt{9}=3$で、$\sqrt{2}$は2乗して2になる約1.414だ。分数の分母を根号のない形に直すことを、分母の有理化という。

公式の$a$と$b$は、根号の中に入る正の数である。$a\ne b$は「$a$と$b$は等しくない」という条件で、等しいと右辺の分母$a-b$が0になってしまう。

同じ数を分母と分子に

分数の分母と分子に同じ数を掛けても、分数の大きさは変わらない。$\frac{1}{2}$の分母と分子に2を掛けた$\frac{2}{4}$は、同じ長さを4つに切って2つ取った量。長さは$\frac{1}{2}$とまったく同じだ。

1. 分母と分子に$\sqrt{a}-\sqrt{b}$を掛ける

   $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\ & =\frac{1\times (\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}\end{array}$$

2. 分子の掛け算をする

   $$1\times (\sqrt{a}-\sqrt{b})=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$

手順1で掛けたのは$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$、つまり1だ。1を掛けても値は変わらない。ただし$\sqrt{a}-\sqrt{b}$が0だと、この1が作れなくなる。

和と差の積で根号が消える

分母の$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$は、和と差の積だ。中学校の乗法公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$の$x$を$\sqrt{a}$に、$y$を$\sqrt{b}$にすれば、そのまま使える。

1辺$\sqrt{a}$の正方形から、1辺$\sqrt{b}$の正方形を角から切り取る。残った形の上の部分を回して右に付けると、横$\sqrt{a}+\sqrt{b}$、縦$\sqrt{a}-\sqrt{b}$の長方形ができる。面積は、切り貼りの前と同じ$a-b$のままだ。つまみで$a$と$b$を変えると、辺の長さが小数のどこまでも続く数でも、面積はいつも整数になる。$b$のほうを大きくすると、図も読み出しも大きいほうの根号を先に書く。

3. 分母に乗法公式を使う

   $$\begin{array}{rl}& (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})\\ & =(\sqrt{a}{)}^2-(\sqrt{b}{)}^2\end{array}$$

4. 根号のついた数を2乗すると、中の数に戻る

   $$(\sqrt{a}{)}^2-(\sqrt{b}{)}^2=a-b$$

5. 手順2の分子と手順4の分母を並べる

   $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$$

かっこを分配法則で1つずつ掛けても、同じ結果になる。4つの積のうち$-\sqrt{a}\sqrt{b}$と$+\sqrt{a}\sqrt{b}$が打ち消し合い、根号のない$a$と$-b$だけが残るからだ。

分母と同じ$\sqrt{a}+\sqrt{b}$を掛けたのでは、こうはいかない。$(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=a+2\sqrt{a}\sqrt{b}+b$となり、真ん中の項の根号が残ってしまう。和には差を、差には和を。この組み合わせで、真ん中の根号がはじめて消える。

では、数を入れて確かめる。$a=3$、$b=2$なら、左辺は1を$\sqrt{3}+\sqrt{2}\approx 1.732+1.414=3.146$で割って約0.318になる。右辺は$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx 1.732-1.414=0.318$で、割り算が引き算1回で済む。

分母の符号に気をつける

公式は$a$が$b$より小さくても成り立つが、そのときは分母$a-b$が負の数になる。では、$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$にそのまま当てはめると、どうなるか。

6. 公式に$a=2$、$b=5$を入れる

   $$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2-5}$$

7. 分母を計算する

   $$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2-5}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{-3}$$

8. 分母と分子に−1を掛けて、分母を正の数にする

   $$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{-3}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$$

はじめから、大きいほうの根号から小さいほうを引いた$\sqrt{5}-\sqrt{2}$を掛ければ、分母は$5-2=3$で正の数になる。符号を2回ひっくり返す手間がいらない。分母が$\sqrt{a}-\sqrt{b}$の差なら、逆に和の$\sqrt{a}+\sqrt{b}$を掛ければよい。

$a=b$のときは、分母が$\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}$で、根号は1つしかない。分母と分子に$\sqrt{a}$を掛ければ、$\frac{1}{2\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{2a}$と有理化できる。