無限等比数列の極限

公比$r$の数列$r,r^2,r^3,\dots$の行き先は、$r$の場所で分かれる。$n$は1から数えるので、$0^0$のような項は出てこない。まず$r>1$の場合を調べる。

1. $r>1$なので$h=r-1$とおく

   $$r=1+h(h>0)$$

2. 二項定理で$n$乗を展開する

   $$r^n=1+nh+\frac{n(n-1)}{2}{h}^2+\cdots +h^n$$

3. 第3項から先は0以上なので捨てる

   $$r^n\ge 1+nh$$

4. $n$を大きくすると右辺に上限がない

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+nh)=\infty$$

5. 左辺はそれ以上なので発散する

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=\infty$$

手順3の形はベルヌーイの不等式と呼ばれる。見積もりとしてはかなり甘い。$1.0001^n$が100万を超えるのは実際には$n=138163$からなのに、$1+0.0001n$が100万を超えるには$n$が約100億まで要る。それでも、上限がないことさえ言えれば極限は決まる。

$r=1$なら、どの項も1で、極限も1である。

では$|r|<1$はどうか。絶対値の逆数をとれば、手順3へ戻せる。ただし$r=0$では逆数がとれないので、先に外しておく。$r=0$なら第1項からずっと0で、極限は0だ。

6. $0<|r|<1$なので逆数は1より大きい

   $$\frac{1}{|r|}=1+h(h>0)$$

7. 手順3の$r$を$\frac{1}{|r|}$に替える

   $$\frac{1}{|r{|}^n}\ge 1+nh$$

8. 両辺の逆数をとると大小が逆になる

   $$|r{|}^n\le \frac{1}{1+nh}$$

9. $|r^n|=|r{|}^n$なので$r^n$を両側からはさむ

   $$-\frac{1}{1+nh}\le r^n\le \frac{1}{1+nh}$$

10. 両端が0に近づくので$r^n$も0に近づく

    $$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=0$$

手順9に負の側があるので、$r$が負でも同じ議論で済む。$r=-0.5$なら項の符号は交互に変わるが、はさむ幅が縮むから、0のまわりで揺れながら収まっていく。

残るのは$r\le -1$である。$r=-1$も$r<-1$も、数列は振動すると言い、どちらも極限をもたない。ただ、揺れ方は同じではない。

11. $r=-1$の項を偶数番と奇数番に分ける

    $$r^{2k}=1,r^{2k-1}=-1$$

12. $r<-1$の絶対値に手順5を使う

    $$\underset{n\to \infty }{\lim }|r^n|=\underset{n\to \infty }{\lim }|r{|}^n=\infty$$

13. $r<-1$の項を偶数番と奇数番に分ける

    $$\underset{k\to \infty }{\lim }{r}^{2k}=\infty ,\underset{k\to \infty }{\lim }{r}^{2k-1}=-\infty$$

$r=-1$の数列は1と$-1$の2つの値だけをとる。絶対値は1のままで、有界なのに1つの値へ近づかない。一方、$r<-1$では偶数番の項が限りなく大きく、奇数番の項が負で限りなく小さくなる。全体を$\infty$とも$-\infty$とも書けず、揺れの幅だけが限りなく広がっていく。

収束しない数列はすべて発散といい、そのうち$\infty$にも$-\infty$にも発散しないものが振動である。だから$r\le -1$の数列は、発散の中の振動である。