分配法則

この計算の道すじ。 縦$a$、横$b+c$の長方形を、横の$b$と$c$の境目で2つに切る（手順1〜5）。全体の面積と2つの面積の和を等しいとおけば、公式になる。負の数を掛けるときは図が使えないので、同じ形でかっこを外し、数を入れて確かめる（手順6〜8）。

$a(b+c)$は$a\times (b+c)$の×を省いた書き方で、かっこの中の和に$a$を掛ける、という意味だ。$ab$は$a\times b$、$ac$は$a\times c$である。

文字には、正の数も負の数も0も入れてよい。長方形の図で考えるときだけは$a$、$b$、$c$を長さ（cm）とみるので、両辺はどちらも面積になり、単位はcm²である。$S$は面積を表す文字で、右下に小さく書いた1と2は、1つ目と2つ目の部分を見分ける印だ。

1. 縦$a$、横$b+c$の長方形の面積を、縦×横で書く

   $$S=a(b+c)$$

2. 横$b$の部分の面積を書く

   $$S_1=ab$$

3. 横$c$の部分の面積を書く

   $$S_2=ac$$

4. 全体の面積は、2つの部分の面積の和に等しい

   $$S=S_1+S_2$$

5. 手順4の式に、手順1〜3の式を代入する

   $$a(b+c)=ab+ac$$

手順5の「代入する」とは、式の中の文字を、等しいと分かっている別の式に置きかえることだ。$a=4$、$b=5$、$c=3$なら、左辺は$4\times 8=32$、右辺は$20+12=32$で、両辺がそろう。

つまみで、縦の長さ$a$と、切る位置を変えられる。横の長さは$b+c=8$に決めてあるので、$b$を増やすと$c$が同じだけ減る。2つの面積はそれぞれ変わっても、和はいつも$a\times 8$のままだ。

かっこの中が引き算でも、同じ決まりが使える。$a(b-c)=ab-ac$は、横$b$の長方形から、横$c$の部分を切り取ると考えればよい。

では、かっこの外が負の数のときは、どうなるのか。長さが負の長方形は無いので、面積の図は使えない。だから、同じ決まりを負の数にも使って$-2(x-3)$のかっこを外し、$x$に数を入れて確かめる。

6. 引き算を、負の数を足す形に直す

   $$-2(x-3)=-2\{x+(-3)\}$$

7. 分配法則で、$-2$をかっこの中の2つの項に掛ける

   $$=(-2)\times x+(-2)\times (-3)$$

8. 負の数どうしの積は正になる

   $$=-2x+6$$

中かっこ$\{\}$は、かっこの中にかっこを書くときの外側の印で、働きはふつうのかっこと同じだ。手順8の$(-2)\times (-3)=6$が、いちばんつまずきやすい。2つ目の項にも符号ごと$-2$を掛けるので、$-6$ではなく$+6$になる。

負の数でも分配法則が成り立つようにすると、負の数どうしの積は正にしか決められない。その道すじは負の数どうしのかけ算で読める。

学習指導要領の解説によると、小学3年で$a\times (b\pm c)=a\times b\pm a\times c$の形を調べ、4年で□や△を使った式にまとめる。中学1年では、正の数と負の数でも分配法則が成り立つことを学び、$2(3x+4)-3(x-5)$のような一次式の計算に使う。中学3年の$2a\times (3a-5b)$のような計算と式の展開も、この決まりの上に立つ。