ベクトルの平行条件

2つのベクトルが平行であるとは、向きが同じか逆であることをいう。$\vec{a}=(a_1,a_2)$、$\vec{b}=(b_1,b_2)$はどちらも$\vec{0}$でないとする。$\vec{0}$は向きを考えないので、平行かどうかを問わない。

まず、平行なら交差の差が0になることを追う。

1. 向きが同じなら、長さの比を掛けて重ねる

   $$\vec{b}=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\vec{a}$$

2. 向きが逆なら、符号を変えて掛ける

   $$\vec{b}=-\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\vec{a}$$

3. どちらも実数倍なので$k$でまとめる

   $$\vec{b}=k\vec{a}(k\ne 0)$$

4. 成分に分ける

   $$b_1=k{a}_1,b_2=k{a}_2$$

5. 交差の差に代入する

   $$a_1{b}_2-a_2{b}_1=a_1(k{a}_2)-a_2(k{a}_1)$$

6. かっこを外すと打ち消し合う

   $$a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$$

$k=0$を除くのは、$\vec{b}$が$\vec{0}$になってしまうからだ。

では逆に、差が0なら必ず平行と言えるのか。

$a_1$で割りたいところだが、$a_1$は0かもしれない。$\vec{a}\ne \vec{0}$から分かるのは、$a_1$と$a_2$の少なくとも一方が0でないことだけなので、2つに分ける。

7. $a_1\ne 0$のとき、$b_1$の比で$k$を決める

   $$k=\frac{b_1}{a_1},b_1=k{a}_1$$

8. 差が0の式を$b_2$について解く

   $$b_2=\frac{b_1}{a_1}{a}_2=k{a}_2$$

9. $a_1=0$のとき、差の式は1項だけ残る

   $$-a_2{b}_1=0$$

10. このとき$a_2\ne 0$なので$b_1$が0と決まる

    $$b_1=0$$

11. $b_2$の比で$k$を決める

    $$k=\frac{b_2}{a_2},b_2=k{a}_2$$

12. $a_1=0$なので$x$成分もそろう

    $$b_1=0=k{a}_1$$

13. どちらの場合も実数倍になる

    $$\vec{b}=k\vec{a}$$

$\vec{b}\ne \vec{0}$なので$k\ne 0$で、2つのベクトルは平行である。手順9からの場合分けを飛ばすと、冒頭の$(0,2)$と$(0,5)$が抜け落ちる。交差の差は、この場合分けを1本の式の中に含んでいる。

ただし、$\vec{0}$を許すと話が変わる。$\vec{a}=\vec{0}$なら、$\vec{b}$がどんな向きでも差は0になるので、$(0,0)$と$(1,2)$も条件を満たしてしまう。「どちらも$\vec{0}$でない」という断りは、同値を守るために要る。

では、差そのものは何を表すのか。なす角を$\theta$とすると、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積$S$は$|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$である。

14. 面積を2乗して${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$を使う

    $$S^2=|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2(1-{\cos }^2\theta )$$

15. 内積を使って$\cos \theta$を消す

    $$S^2=|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2$$

16. 成分で書く

    $$S^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2$$

17. 展開して打ち消し合う項を消す

    $$S^2=a_1^2{b}_2^2-2a_1{a}_2{b}_1{b}_2+a_2^2{b}_1^2$$

18. 2乗の形にまとめる

    $$S^2=(a_1{b}_2-a_2{b}_1{)}^2$$

19. $S\ge 0$なので平方根をとる

    $$S=|a_1{b}_2-a_2{b}_1|$$

平行になると平行四辺形はつぶれて線になる。つまり、平行の条件は面積が0という条件でもある。手順16で使った大きさの式は、ベクトルの成分と大きさで導き方を追える。