3乗の展開

この公式を習うのは数学IIの「いろいろな式」である。文部科学省の解説は数学Iの箇所で、三次の乗法公式をそちらで扱うと断っている。ただ、計算に新しい道具は要らない。中学校の乗法公式で2乗を展開し、分配法則で$a+b$をもう一度掛ける。

1. 3乗を、2乗と1乗の積に分ける

   $$(a+b{)}^3=(a+b{)}^2(a+b)$$

2. 2乗を乗法公式で展開する

   $$(a+b{)}^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)$$

3. 右のかっこを分配する

   $$\begin{array}{rl}(a+b{)}^3& =(a^2+2ab+b^2)a\\ & +(a^2+2ab+b^2)b\end{array}$$

4. $a$を掛ける分を展開する

   $$(a^2+2ab+b^2)a=a^3+2a^{2}b+a{b}^2$$

5. $b$を掛ける分を展開する

   $$(a^2+2ab+b^2)b=a^{2}b+2a{b}^2+b^3$$

6. 手順4と5の結果を足す

   $$\begin{array}{rl}(a+b{)}^3& =a^3+2a^{2}b+a{b}^2\\ & +a^{2}b+2a{b}^2+b^3\end{array}$$

7. 同類項をまとめる

   $$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

係数の3は、立方体の3つの向きから来る。$a^{2}b$のブロックは$a\times a\times b$の板で、厚さ$b$の向きが縦、横、高さの3通りある。$a{b}^2$の棒も、長さ$a$の向きが同じく3通りだ。式に戻せば、3つのかっこのどれから$b$を選ぶかの3通りにあたり、これを$n$乗へ広げると二項定理になる。$a$と$b$を入れ替えても立方体は変わらないので、係数は左右対称に並ぶ。

では、$a-b$の3乗はどうなるのか。公式の$b$を$-b$に置き換えれば足りる。$(-b{)}^2=b^2$、$(-b{)}^3=-b^3$なので、$b$の次数が奇数の項だけ符号が変わり、符号は交互に並ぶ。

3乗の和を因数分解する式も、手順7から続けて出せる。真ん中の2項に共通する$3ab$をくくるのが入り口である。

8. 真ん中の2項を$3ab$でくくる

   $$(a+b{)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$

9. $a^3+b^3$だけを左辺に残す

   $$a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$$

10. 右辺の共通因数$a+b$をくくり出す

    $$a^3+b^3=(a+b)\{(a+b{)}^2-3ab\}$$

11. 波かっこの中の2乗を展開する

    $$a^3+b^3=(a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab)$$

12. 同類項をまとめる

    $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

ここでも$b$を$-b$に置き換えると、$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$が出る。解説が数学IIの公式として並べるのは、和と差の3乗に、この2つの因数分解を加えた4本だ。

$(a+b{)}^3$を$a^3+b^3$と書きたくなるが、手順8を見れば、それは板3枚を丸ごと落とした式だと分かる。9を4と5に分けた『リーラーヴァティー』の計算は、この手順8の式そのものだ。例題に出た540も、$4\times 5\times 9=180$の板3枚の体積である。