等差数列の一般項

等差数列は、隣どうしの差がどこでも同じ数列である。初項を$a$、その差を$d$とする。この$d$が公差で、負でも0でもよい。

1. 隣どうしの差が$d$という定義を書く

   $$a_{k+1}-a_k=d$$

2. $a_n-a_1$を隣どうしの差に分ける

   $$\begin{array}{rl}{a}_n-a_1& =(a_2-a_1)+(a_3-a_2)\\ & +\cdots +(a_n-a_{n-1})\end{array}$$

3. かっこをすべて$d$に置き換える

   $$a_n-a_1=d+d+\cdots +d$$

4. かっこの数を数えて掛け算にする

   $$a_n-a_1=(n-1)d$$

5. 初項$a_1=a$を右辺へ移す

   $$a_n=a+(n-1)d$$

手順2の右辺は、途中の項が打ち消し合って左辺に戻る。かっこの数は$n$個の項の間の数で、木が$n$本なら間は$n-1$か所という植木算と同じ数え方である。もっとも、$n=1$では間が無く、手順2は書けない。それでも$(n-1)d$が消えて$a$に戻るから、公式は初項にもそのまま当てはまる。

手順2の分け方は、文部科学省の解説で階差数列を扱う箇所にも出てくる。差がどれも$d$である場合が、等差数列にあたる。

この式を$n$について整理すると、数列の形が見えてくる。

6. かっこを開いて$n$について整理する

   $$a_n=dn+(a-d)$$

傾きが公差$d$の直線の式で、$d\ne 0$なら$n$の1次式である。点$(n,a_n)$はこの直線の上に等間隔で並ぶ。逆に、一般項が$a_n=pn+q$の形なら隣の差から$n$が消えて、公差$p$の等差数列になる。

7. 隣どうしの差をとる

   $$a_{n+1}-a_n=p$$

初項が分からなくても、2つの項があれば公差は出る。

8. 第$m$項の式から第$n$項の式を引く

   $$a_m-a_n=(m-n)d$$

では、3つの数$a$, $b$, $c$がこの順に等差数列をなす条件は何か。ここからの$a$, $b$, $c$は、3つの数を表す。

9. 隣どうしの差が等しいと書く

   $$b-a=c-b$$

10. 両辺に$a+b$を足す

    $$2b=a+c$$

この$b$を、$a$と$c$の等差中項という。$b=\frac{a+c}{2}$と書けば$a$と$c$の平均で、ブラーマグプタの同じ一節も、初項と末項の和の半分を「中間の量」と呼んでいる。

ここまでは、等差数列ならばこの式が成り立つという向きだ。逆も言えるのだろうか。

11. 仮定の式から始める

    $$2b=a+c$$

12. 両辺から$a+b$を引く

    $$b-a=c-b$$

13. 共通の差を$d$とおいて$a$で表す

    $$b=a+d,c=a+2d$$

3つの数が公差$d$で並んだので、$a$, $b$, $c$はこの順に等差数列である。だから$2b=a+c$は必要十分条件で、問題文に等差数列とあれば式へ進み、式が出れば等差数列と結論してよい。

ただし、順番を見落としやすい。2, 1, 3は$2\cdot 1\ne 2+3$だが、並べ替えた1, 2, 3は等差数列である。「この順に」が無ければ、どれが$b$かを場合分けする。

3項の条件は、数列全体にも効く。

14. すべての$n$で成り立つ式を移項する

    $$\begin{array}{rl}2a_{n+1}& =a_n+a_{n+2}\\ a_{n+2}-a_{n+1}& =a_{n+1}-a_n\end{array}$$

隣どうしの差が$n$によらず同じなので、$\{a_n\}$は等差数列になる。