(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

3つの項の和の2乗

Square of a trinomial

正方形を9つに切ると、2乗が3つと長方形が2枚ずつ並ぶ。

3つの項の和の2乗は、それぞれの2乗の和に、2つずつ掛けた積の2倍を足した式になる。2つの項をまとめて1つの文字とみれば、中学校の乗法公式を2回使うだけで出る。

年代: 紀元前300年ごろ
習う: 高1・数学I・数と式
レベル: 基本(例題 4 問)
人物: エウクレイデス

数学物理学

起源

線分を切って正方形を分ける

紀元前300年ごろのエウクレイデス（ユークリッド）の『原論』に、この公式のもとになる命題がある。第2巻命題4は、線分を好きな点で2つに分けると、全体の上の正方形は、2つの部分の上の正方形の和に、2つの部分でつくる長方形の2倍を足したものに等しい、と述べる。いまの式で書けば $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab$ である。辺を3つに分けて同じことをすると、正方形は9つの区画に分かれ、この公式になる。

途中の計算

2つの項を1つの文字にまとめる

$a + b$ をひとまとまりとみて、中学校で習った乗法公式 $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ を2回使う。

$a + b$ を1つの文字 $A$ に置き換える
$(a + b + c)^{2} = (A + c)^{2}$
乗法公式で展開する
$(A + c)^{2} = A^{2} + 2 A c + c^{2}$
$A$ を $a + b$ に戻す
$(a + b)^{2} + 2 (a + b) c + c^{2}$
$(a + b)^{2}$ を展開し、 $2 (a + b) c$ を分配する
$a^{2} + 2 ab + b^{2} + 2 a c + 2 b c + c^{2}$
2乗の項と2倍の項に分け、 $a c$ を $c a$ と書いて並べる
$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a$

1辺をa、b、cに分けた正方形。対角に2乗の正方形が3つ、残りは同じ長方形が2枚ずつ並ぶ

学習指導要領の解説は、数学Iの「数と式」の例として、一つの文字に置き換えて複雑な式を簡単な式に帰着させる扱い方を挙げている。手順1の置き換えが、それにあたる。解説は、中学校の乗法公式のほかに数学Iで新しく扱う公式を $(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ だけとしている。3つの項の2乗は、覚える公式を増やさなくても、この置き換えで導ける。

$(a + b + c) (a + b + c)$ を分配法則で展開すると、2つのかっこから1項ずつ選んで掛けた積が $3 \times 3 = 9$ 個並ぶ。 $ab$ と $ba$ のように同じ積が2回ずつ出るので、2乗の3項と2倍の3項の合わせて6項にまとまる。左辺は $a$ 、 $b$ 、 $c$ をどう入れ替えても変わらないので、右辺も入れ替えで変わらない対称な形になる。最後の $2 ab + 2 b c + 2 c a$ は、 $a \to b \to c \to a$ と順に回す輪環の順に並べてあり、この順に書くと項の書き落としに気づきやすい。

応用

和と積から2乗の和を出す

公式を逆向きに使うと、2乗の和を、和と2つずつの積で表せる。

a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + b + c)^{2} - 2 (ab + b c + c a)

たとえば $a + b + c = 6$ 、 $ab + b c + c a = 11$ なら、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 36 - 22 = 14$ で、1、2、3の2乗の和と合う。数学Cで習うベクトルでも同じ形が出る。3つのベクトルの和の大きさの2乗は

∣ u + v + w ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} + ∣ w ∣^{2} + 2 (u \cdot v + v \cdot w + w \cdot u)

で、積の代わりに内積が入る。物理で3つの力を合わせるとき、合力の大きさはこの式で、それぞれの力の大きさと、2つずつの力の内積から求める。項が $n$ 個に増えても、2乗が $n$ 個と、2つずつの組の積の2倍が $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ 組並ぶ。

例題と解説

展開・因数分解・式の値

例題 1基本3つの項の展開

$(x + 2 y - 3)^{2}$ を展開せよ。

解説を見る

$a = x$ 、 $b = 2 y$ 、 $c = - 3$ とみて公式に当てはめる。

x^{2} + 4 y^{2} + 9 + 2 \cdot x \cdot 2 y + 2 \cdot 2 y \cdot (- 3) + 2 \cdot (- 3) \cdot x

= x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} - 6 x - 12 y + 9

例題 2基本公式を逆に使う因数分解

$x^{2} + 4 y^{2} + z^{2} + 4 x y + 4 y z + 2 z x$ を因数分解せよ。

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2乗の項は $x^{2}$ 、 $(2 y)^{2}$ 、 $z^{2}$ である。2倍の項が $2 \cdot x \cdot 2 y = 4 x y$ 、 $2 \cdot 2 y \cdot z = 4 y z$ 、 $2 \cdot z \cdot x = 2 z x$ とすべてそろうので

x^{2} + 4 y^{2} + z^{2} + 4 x y + 4 y z + 2 z x = (x + 2 y + z)^{2}

例題 3基本和と2乗の和から積の和

$a + b + c = 3$ 、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 29$ のとき、 $ab + b c + c a$ の値を求めよ。

解説を見る

$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (ab + b c + c a)$ に代入すると $9 = 29 + 2 (ab + b c + c a)$ なので

ab + b c + c a = \frac{9 - 29}{2} = - 10

たとえば $a = 5$ 、 $b = - 2$ 、 $c = 0$ がこの条件を満たし、 $ab + b c + c a = - 10$ になる。

例題 4入試4乗の和

実数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ が $a + b + c = 0$ 、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 6$ を満たすとき、 $ab + b c + c a$ と $a^{4} + b^{4} + c^{4}$ の値を求めよ。

解説を見る

公式から $0 = 6 + 2 (ab + b c + c a)$ なので $ab + b c + c a = - 3$ である。

次に、 $ab$ 、 $b c$ 、 $c a$ の3つを項とみて同じ公式を使う。

(ab + b c + c a)^{2} = a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} + 2 (ab \cdot b c + b c \cdot c a + c a \cdot ab)

かっこの中は $ab c (a + b + c) = 0$ なので、 $a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} = (- 3)^{2} = 9$ である。さらに $a^{2}$ 、 $b^{2}$ 、 $c^{2}$ を項とみると

a^{4} + b^{4} + c^{4} = (a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} - 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) = 36 - 18 = 18

$a = 2$ 、 $b = c = - 1$ で確かめると、 $16 + 1 + 1 = 18$ になる。

参考文献

文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編理数編』（2018）、第1部第2章第1節「数学I」3（1）数と式、37ページ
文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編』（2017）、第3学年A(2)簡単な多項式、137ページ
Euclid, Elements, Book II, Proposition 4, D. E. Joyce (ed.), Clark University, https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookII/propII4.html

3つの項の和の2乗

線分を切って正方形を分ける

2つの項を1つの文字にまとめる

和と積から2乗の和を出す

展開・因数分解・式の値

例題 1基本3つの項の展開

例題 2基本公式を逆に使う因数分解

例題 3基本和と2乗の和から積の和

例題 4入試4乗の和

参考文献

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