二重根号のはずし方

この計算の道すじ。 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$を2乗すると、二重根号の中身と同じ$(a+b)+2\sqrt{ab}$になる（手順1〜3）。両辺の正の平方根をとれば、公式の＋の側が出る。−の側は、どちらの数を前に置くかで符号が変わる（手順4〜6）。根号の前に2が無い形は、先に2を作る（手順7〜9）。

$\sqrt{x}$は、2乗すると$x$になる数のうち0以上のほうで、$x$の正の平方根を表す。根号の中にもう1つ根号がある形を、二重根号という。公式の$a$と$b$は正の数で、$a+b$が2数の和、$ab$が2数の積である。

$a>b>0$は、$a$が$b$より大きく、$b$が0より大きいという条件だ。長さや面積のような単位は付かず、どれもただの数である。

1. $\sqrt{a}+\sqrt{b}$を、乗法公式$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$で2乗する

   $$\begin{array}{rl}& (\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2\\ & =(\sqrt{a}{)}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b}{)}^2\end{array}$$

2. $(\sqrt{a}{)}^2=a$、$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$を使う

   $$(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=(a+b)+2\sqrt{ab}$$

3. $\sqrt{a}+\sqrt{b}$は正なので、両辺の正の平方根をとる

   $$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

手順2の$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$は、正の数どうしなら根号の中で掛けてよい、という決まりだ。たとえば$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$である。手順3で「正の平方根をとる」のは、根号がいつも0以上の数を表すからだ。

マイナスの側も、同じように2乗から始める。

4. 乗法公式$(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2$で2乗し、手順2と同じくまとめる

   $$\begin{array}{rl}& (\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\\ & =(\sqrt{a}{)}^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b}{)}^2\\ & =(a+b)-2\sqrt{ab}\end{array}$$

5. $a>b$なので$\sqrt{a}>\sqrt{b}$で、$\sqrt{a}-\sqrt{b}$は正になる

   $$\sqrt{a}-\sqrt{b}>0$$

6. 両辺の正の平方根をとる

   $$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$

$\sqrt{b}-\sqrt{a}$も2乗すれば同じ$(a+b)-2\sqrt{ab}$になる。ただ、$\sqrt{b}-\sqrt{a}$は負の数なので、根号の値にはなれない。だからマイナスのときは、大きいほうの数$a$を前に置く。

では、目の前の二重根号をほどくには、どうすればよいのか。根号の中を$p+2\sqrt{q}$の形に見て、和が$p$、積が$q$の2数を探せばよい。$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$なら$p=5$、$q=6$で、足して5、掛けて6になるのは3と2なので、$\sqrt{3}+\sqrt{2}$になる。

つまみで和と積を選ぶと、和がその数になる整数の組が、長方形として順に並ぶ。長方形の縦と横が2数で、面積が2数の積だ。面積がちょうど積に合う長方形が見つかれば、その縦と横の数で二重根号がほどける。

根号の前に2が無いときは、先に2を作る。$\sqrt{4+\sqrt{12}}$なら、12の中から2乗の4を見つけて、根号の外へ出す。

7. 12を$2^2\times 3$に分け、$2^2$を根号の外へ出す

   $$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\times 3}=2\sqrt{3}$$

8. 二重根号を、2が前にある形に書き直す

   $$\sqrt{4+\sqrt{12}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}$$

9. 和が4、積が3の2数は3と1なので、公式を使う

   $$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}+\sqrt{1}=\sqrt{3}+1$$

ただし、いつでもほどけるわけではない。$\sqrt{5+2\sqrt{3}}$の和5を正の整数2つに分ける組は4と1、3と2しかないが、積は4と6で、3にならない。だから、整数の2数ではほどけない。

では、分数まで広げれば見つかるのか。和が$p$、積が$q$の2数を$x$、$y$とすると、$(t-x)(t-y)=t^2-pt+q$である。左辺は$t=x$でも$t=y$でも0になるので、2数は二次方程式$t^2-pt+q=0$の2つの解だ。

解の公式の根号の中は$p^2-4q$で、これが2乗の数でなければ、解から根号が消えない。$\sqrt{5+2\sqrt{3}}$では$25-12=13$で2乗の数ではないので、分数まで広げても2数は見つからない。

同じ条件は、エウクレイデスの「第1の」二項線分にも入っている。長いほうの項を$p$、短いほうの項を$2\sqrt{q}$と読み替えると、2乗の差は$p^2-4q$になる。命題54の証明が使うのは、この差がある線分の2乗に等しく、その線分と長いほうの項の長さの比が整数の比になるという条件で、いまの言葉なら$p^2-4q$が2乗の数になることにあたる。

学習指導要領の解説 数学編の「数学I」は、数と式で、根号を含む数の足し算・引き算・掛け算と、分母が2項ほどの分数の分母の有理化などを挙げるが、二重根号の語は使っていない。この語が出てくるのは理数科の科目「理数数学I」の解説で、「二重根号をはずす計算まで扱い」とある。