角の二等分線と比

この証明の道すじ。 点Cを通りADに平行な線を引き、△ACGを二等辺三角形にする（手順1〜6）。平行線と比の性質でBD : DCをBA : AGに移し、AGをACに置き換える（手順7〜8）。外角の二等分線のほうは、三角形の面積を2通りに表して示す（手順9〜13）。

△ABCの角Aの二等分線が、辺BCと交わる点をDとする。角の二等分線は、角を2つの等しい角に分ける線だ。BD : DCのような比は、前の長さを後ろの長さで割った値で比べ、BD : DC = AB : ACはBD ÷ DC = AB ÷ ACと同じ意味になる。

公式の4つの文字の組は、どれも線分の長さを表す。左辺は辺BCがDで分かれた2つの部分、右辺は角Aをはさむ2つの辺だ。AB = 6、AC = 4、BC = 5なら、Dは辺BCを3と2に分け、3 ÷ 2も6 ÷ 4も1.5になる。

頂点Aを動かして三角形の形を変えても、BD ÷ DCはいつもAB ÷ ACと同じ値になる。破線は角Aの外側の角（外角）を二等分する線で、直線BCとの交点Eでも、BE ÷ ECは同じ値だ。Eが画面から外れるときは、向きだけを矢印で示す。Aの横の位置をBとCの真ん中の3 cmにするとAB = ACになり、破線はBCと平行になって交わらない。

平行線で角を移す

証明には、中学校で習う平行線の角の性質を使う。平行な2本の直線に別の直線が交わると、同じ位置にできる角（同位角）と、互い違いの位置にできる角（錯角）が、それぞれ等しい。

1. Cを通りADに平行な直線を引き、辺BAをAの先へ延ばした線との交点をGとする

   $$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{GC}$$

2. ADは角Aを二等分する

   $$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DAC}$$

3. 平行線AD、GCに直線ACが交わるので、錯角が等しい

   $$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{ACG}$$

4. 平行線AD、GCに直線BGが交わるので、同位角が等しい

   $$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{AGC}$$

5. 手順2〜4をつなぐ

   $$\angle \mathrm{ACG}=\angle \mathrm{AGC}$$

6. 2つの角が等しい三角形は二等辺三角形なので、2辺が等しい

   $$\mathrm{AG}=\mathrm{AC}$$

記号∥は「平行」と読む。手順6で等しくなるのは、等しい2つの角∠ACGと∠AGCにそれぞれ向かい合う辺、AGとACである。

7. △BCGでAD ∥ GCなので、2つの辺が同じ比に分かれる

   $$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{BA}:\mathrm{AG}$$

8. 手順6のAG = ACを入れる

   $$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$$

手順7は、中学3年で習う「三角形と比」の性質だ。三角形の1辺に平行な直線は、ほかの2辺を同じ比に分ける。つまり△BCGでは、辺GCに平行なADが、辺BCをDで、辺BGをAで切っている。手順8のABは、手順7のBAと同じ線分である。

では、数で確かめる。AB = 6、AC = 4なら、AG = AC = 4で、BG = 6 + 4 = 10になる。手順7はBD : DC = 6 : 4 = 3 : 2で、BC = 5を3 : 2に分けると、BDは5の5分の3にあたる。

$$\mathrm{BD}=\mathrm{BC}\times \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}=5\times \frac{6}{6+4}=3$$

外角の二等分線は延長と交わる

辺BAをAの先へ延ばした線の上に点Fをとると、∠CAFが△ABCの外角だ。外角の二等分線が直線BCと交わる点をEとすると（手順1のGとは別の点）、AB > ACなら、Eは辺BCの外、Cの先の延長の上に来る。

ただ、外角のほうは平行線を引くより、面積を2通りに表すほうが早い。使うのは、角の二等分線の上の点から角の2辺までの距離は等しい、という中学校で習う性質だ。式の中の△ABEは、三角形ABEの面積を表す。

9. △ABEと△ACEは、底辺BEとECが同じ直線の上にあり、Aからの高さが共通なので、面積の比は底辺の比になる

   $$△\mathrm{ABE}:△\mathrm{ACE}=\mathrm{BE}:\mathrm{EC}$$

10. Eは外角の二等分線の上にあるので、直線ABと直線ACまでの距離が等しい。その距離を$h$とおき、ABを底辺とみる

    $$△\mathrm{ABE}=\frac{1}{2}\times \mathrm{AB}\times h$$

11. △ACEも、ACを底辺とみて高さ$h$で表す

    $$△\mathrm{ACE}=\frac{1}{2}\times \mathrm{AC}\times h$$

12. 手順10と11の面積を比べ、共通の$\frac{1}{2}\times h$を消す

    $$△\mathrm{ABE}:△\mathrm{ACE}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$$

13. 手順9と12をつなぐ

    $$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$$

AB = 6、AC = 4、BC = 5なら、BE : EC = 3 : 2だ。ECを2つ分とみるとBEは3つ分で、その差の1つ分がBC = 5にあたる。だからEC = 10、BE = 15と決まる。

実は、同じ面積の考え方は内角の二等分線にも使える。DもAの角の二等分線の上にあるので、直線AB、ACまでの距離が等しく、△ABD : △ACDはAB : ACにもBD : DCにもなる。

AB = ACのときは、話が変わる。外角は隣り合わない2つの内角の和に等しく、二等辺三角形では∠Bと∠Cが等しいので、外角の半分は∠Cと同じ大きさになる。

$$\frac{1}{2}\angle \mathrm{CAF}=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C})=\angle \mathrm{C}$$

錯角が等しいので、外角の二等分線はBCと平行になる。だからEはどこにもできない。比の式でも、BE : EC = 1 : 1になる点は直線BCの延長の上にはない。