三角形の重心

この証明の道すじ。 中点どうしを結ぶ線が辺の半分になることを確かめる（手順1〜4）。その半分の比を、2本の中線が作る相似な三角形へ移すと2 : 1が出る（手順5〜9）。3本目の中線も同じ点を通ることを示し（手順10〜12）、面積だけでも同じ比が出ることを確かめる（手順13〜20）。

三角形の頂点と、向かい合う辺の中点を結ぶ線分を中線という。1つの三角形に中線は3本あり、その交点Gを重心と呼ぶ。

公式の文字は、頂点と中点を組にして読む。AとM、BとN、CとLが、それぞれ1本の中線の両端だ。AG : GM = 2 : 1は、AGの長さがGMの2倍という意味で、中線全体を3等分すると頂点の側に2つ分、中点の側に1つ分が来る。

頂点Aを動かして細長い形にしても、3本の中線は1点で交わり続ける。右の棒は3本の中線の長さで、斜線がGより頂点の側、斜線のない部分が中点の側を表す。棒の長さは変わるが、2対1の分かれ方は変わらない。

中点を結ぶと半分になる

使う道具は、中学3年で習う中点連結定理である。三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分になる。式の∽は「相似」と読み、形が同じで大きさの違う図形を指す。

1. LとNは中点なので、2辺の比が等しい

   $$\mathrm{AL}:\mathrm{AB}=\mathrm{AN}:\mathrm{AC}=1:2$$

2. 角Aも共通なので、2組の辺の比とその間の角から相似になる

   $$△\mathrm{ALN}\backsim △\mathrm{ABC}$$

3. 相似の比は1 : 2なので、LNはBCの半分になる

   $$\mathrm{LN}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$$

4. 対応する角∠ALNと∠ABCは同位角で等しいので、2本は平行になる

   $$\mathrm{LN}\parallel \mathrm{BC}$$

砂時計の形で比を移す

では、この「半分」を中線の上へ移そう。中線BNとCLの交点をGとする。LNとBCが平行なので、Gをはさんで上下に2つの三角形ができ、砂時計のような形になる。

5. 平行線LN、BCに直線LCが交わるので、錯角が等しい

   $$\angle \mathrm{GLN}=\angle \mathrm{GCB}$$

6. 平行線LN、BCに直線NBが交わるので、錯角が等しい

   $$\angle \mathrm{GNL}=\angle \mathrm{GBC}$$

7. 2組の角が等しいので相似になる

   $$△\mathrm{GLN}\backsim △\mathrm{GCB}$$

8. 相似の比は、手順3からLN : CB = 1 : 2である

   $$\mathrm{GN}:\mathrm{GB}=\mathrm{GL}:\mathrm{GC}=1:2$$

9. 比の前後を入れ替える

   $$\mathrm{BG}:\mathrm{GN}=\mathrm{CG}:\mathrm{GL}=2:1$$

手順8で組になるのは、LとC、NとB、GとGである。組を取り違えないように、△の頂点は対応する順に書いてある。

3本目も同じ点を通る

残るのは中線AMだ。2本の交点がGだとしても、3本目が同じ点を通るとは、まだ言えていない。そこで、AMとBNの交点をいったんG′と呼ぶ。

手順1〜9は、どの2本の中線で書いても同じ筋で進む。LをMに、CをAに置き換えると、中点を結ぶ線はMNで、△G′MNと△G′ABが相似になる。

10. 手順9と同じ比が、中線BNの上の点G′でも成り立つ

    $$\mathrm{B}{\mathrm{G}}^{\prime }:{\mathrm{G}}^{\prime }\mathrm{N}=2:1$$

11. BNをBの側から2 : 1に分ける点は1つしかない

    $${\mathrm{G}}^{\prime }=\mathrm{G}$$

12. AMもGを通り、手順10と同じ相似から同じ比に分かれる

    $$\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1$$

面積でも2 : 1が出る

相似を使わなくても、同じ比にたどり着ける。使うのは、底辺と高さが等しい三角形は面積も等しいという、小学校以来の事実だけだ。式の△ABMは、三角形ABMの面積を表す。中線AMとBNの交点をGとして、次のように進む。

13. BM = MCで高さが共通なので、面積が等しい

    $$△\mathrm{ABM}=△\mathrm{ACM}$$

14. Gを頂点とする2つの三角形も、底辺と高さが同じ

    $$△\mathrm{GBM}=△\mathrm{GCM}$$

15. 手順13の両辺から手順14の面積を引く

    $$△\mathrm{ABG}=△\mathrm{ACG}$$

16. 中線BNでも、CN = NAから同じ2組の等しい面積ができる

    $$\begin{array}{rl}△\mathrm{BCN}& =△\mathrm{BAN}\\ △\mathrm{GCN}& =△\mathrm{GAN}\end{array}$$

17. 手順16の上の式から下の式を引く

    $$△\mathrm{CBG}=△\mathrm{ABG}$$

18. Gのまわりの3つの三角形は等しいので、どれも全体の3分の1

    $$△\mathrm{ABG}=\frac{1}{3}△\mathrm{ABC}$$

19. △GBMは手順14から△GBCの半分で、全体の6分の1

    $$△\mathrm{GBM}=\frac{1}{6}△\mathrm{ABC}$$

20. △ABGと△GBMはBからの高さが共通なので、面積の比が底辺の比になる（比の両方を6倍する）

    $$\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=\frac{1}{3}:\frac{1}{6}=2:1$$