limと∞の読み方と、1の∞乗が1と決まらないわけ

limは英語のlimitの略で、日本語では「極限」と訳す。∞は英語でinfinity、日本語で無限大。上智大学理工学部の読み方の手引きでは、矢印の$x\to y$は「x tends to y」か「x approaches y」、${\lim }_{x\to \infty }f(x)$は「the limit of the function f of x as x goes to [approaches] infinity」と読む。英語は「fの極限」を先に言うが、日本語で意味を言うときは「xが限りなく大きくなるとき」が先に来る。

部品を、数列の形${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\alpha$で確かめる。limの下の$n\to \infty$は、どの文字をどちらへ動かすかの指定だ。右の$a_n$は、nとともに変わる式。等号の右の$\alpha$を極限値といい、$a_n$が$\alpha$に近づくことを「収束する」という。

等号の読み方には気をつけたい。福山平成大学の福井正康は講義資料で、${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$の等号について、「0になるではなく、0に限りなく近づくという意味」と念を押している。$\frac{1}{n}$はどのnでも正で、0にはならない。等しいのは、近づいていく先の値と0である。

等号の右は数のことが多いが、∞が来ることもある。${\lim }_{n\to \infty }{n}^2=\infty$は、$n^2$が限りなく大きくなる、つまり正の無限大に発散することを表す。九州大学の原隆は講義資料で、このときは収束するとは言わず、「極限が無限大である」などと言う、と区別している。北海道大学の講義資料にも、関数の値そのものについて「決して$f(x)=\infty$とは書きません」という注意がある。∞は、limか矢印と組になって初めて意味を持つ記号なのである。

「限りなく近づく」は、どのくらい近いのかを言っていない。原は、この言い方には「限りなく」という感覚的な言葉が入っていて「あやふやだ」と書き、問答の形に置き換える。誤差をどこまで小さくしてほしいかを注文し、何番目から先ならその注文を守れるかを答える問答である。

$\frac{1}{n}$なら簡単だ。たとえば、0との差を0.001より小さく、と注文されたら、「nが1,001から先なら守れる」と答えればよい。0.000001なら1,000,001から先。注文をどれだけ厳しくしても答えが返ってくるので、極限は0と言える。

冒頭の${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$でも、同じ問答ができる。この数列はnとともに増え続ける（ネイピア数の記事の証明）ので、一度注文の内側に入った項より先は、ずっと内側にとどまる。筆者がPythonの10進演算で、eとの差が注文より小さくなる最初の番号Nを探すと、次のようになった。

誤差の注文ε	番号N
0.1	13
0.01	135
0.001	1,359
0.0001	13,591
0.00001	135,914
0.000001	1,359,140

注文を10分の1にするたびに、Nはほぼ10倍になる。差がおよそ$\frac{e}{2n}$で縮むからで、$n=1000$での差0.001358は、$\frac{e}{2000}=0.001359$とほとんど変わらない。

この問答を、注文をε（イプシロン）、答えをNと書いて1文にしたものが、大学で習う極限の定義である。どんな正の数εを選んでも番号Nがあって、N以上のすべてのnで次が成り立つとき、${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\alpha$と書く。

$$|a_n-\alpha |<\epsilon$$

極限を∞で書くのに、意外にも、その定義には∞が1度も出てこない。εもNも有限の数で、原は、「Nより大きなすべてのn」を考えることで実質的に無限大のnを扱っている、と説明する。∞は、この問答がどこまでも続けられることを1文字に縮めた印と読める。初めて学ぶ人が戸惑うのは、εを先に決めてNをあとから探す、この順番のせいかもしれない。原も、戸惑う理由としてεとNの出てくる順番を挙げている。

矢印の先は、∞とは限らない。微分の定義の${\lim }_{h\to 0}$は、ふつうの数0へ近づける形だ。微分積分学の基本定理の証明でも、導関数はこの形の極限で求める。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

$h\to 0$は、hを0に近づけるが0にはしない、と読む。$f(x)=x^2$、$x=1$なら、分数は$\frac{2h+h^2}{h}$で、$h\ne 0$なら$2+h$に等しい。$h=0$を入れると$\frac{0}{0}$になり、値が無い。それでも0の近くのhでは値が2にいくらでも近く、極限は2になる。式そのものが意味を失う点の手前から、行き先だけを読む。limの使い道は、ここにある。割線が接線に重なっていく様子は、微分の記号の読み方のシミュレーションで見られる。

近づく向きも読む。$h\to 0$は、正の側からも負の側からも近づくことを含む。基本定理の記事の証明でも、$h>0$で示したあと、$h<0$でも同じ形になると断ってある。片側だけから近づけるとき、日本では$x\to +0$、$x\to -0$と書く。福井も講義資料でこの書き方を説明していて、文部科学省の解説にも${\lim }_{x\to +0}x\log x$が出てくる。オハイオ大学のバーサミアンの資料では、英語で$x\to c^{-}$を「x approaches c from the left」と読み、右側はleftをrightに替える。

+0は「プラスのゼロ」という数ではなく、近づく向きの印だ。$y=\frac{1}{x}$でxを正の側から0に近づけると、yは$+\infty$へ発散する。負の側からだと$-\infty$へ向かう。両側の行き先が食い違うので、${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}$は存在しない。

$y=|x|$の原点でも、差の比$\frac{|h|}{h}$は右からなら1、左からなら$-1$になる。片側ごとの極限が食い違うので、原点の微分係数は存在しない。

limと書いていなくても、∞が見えたら、その奥にはlimがある。

等比級数の${\sum }_{k=0}^{\infty }{r}^k=\frac{1}{1-r}$は、最初のn項の和$S_n=\frac{1-r^n}{1-r}$で$n\to \infty$とした式を、1行に縮めたものだ。条件の$|r|<1$は、$r^n$が0に近づくかどうかで決まる。$r=0.9$なら$0.9^{100}$は0.0000266まで縮み、$r=1.1$なら$1.1^{100}$は約13,781に膨らむ。

同じ見方で、$0.999\dots =1$も読める。0.9、0.99、0.999と続く数の第n項は$1-10^{-n}$で、極限は1だ。「0.999…は1に限りなく近いだけで、1ではない」という反論はもっともらしいが、並んでいく途中の数と、その行き先を取り違えている。「…」が指しているのは行き先で、行き先は1そのものである。この等式がすっきりしないのは、「…」を数の並びと読んでしまうからだろう。文部科学省の解説にも、数学IIIの無限級数の扱いとして、$0.999\dots =1$などの等式を「極限の観点から考察する」ことが挙がっている。

ガウス積分の記事の証明にある${\left[-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}\right]}_0^{\infty }=\frac{1}{2}$も、rに∞を入れてはいない。上端をRとした$\frac{1}{2}\left(1-e^{-R^2}\right)$で、$R\to \infty$としている。積分の端の$\pm \infty$の読み方は、Σと∫の読み方で確かめられる。

素数定理の$\pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}$では、近づくのが差ではなく比であることに気をつけたい。記号〜は、${\lim }_{x\to \infty }\frac{\pi (x)}{x/\ln x}=1$を縮めて書いたものだ。比は$x=10^6$で1.0845、$10^9$で1.0537と1に寄っていくが、差は6,116から約259万へと400倍以上に開く。何と何が近づくのかは、記号ごとに読み分けるしかない。