結晶の密度

$d$は結晶の密度（g/cm³）、$n$は単位格子に入る粒子の数、$M$はモル質量（g/mol）、$N_A$はアボガドロ定数、$a$は立方体の単位格子の1辺、つまり格子定数（cm）である。

1. 粒子1個の質量をモル質量から出す

   $$m_1=\frac{M}{N_A}$$

2. 単位格子に入る$n$個ぶんの質量にする

   $$m_{\text{cell}}=n\times \frac{M}{N_A}$$

3. 立方体の単位格子の体積を出す

   $$V_{\text{cell}}=a^3$$

4. 質量を体積で割る

   $$d=\frac{n\times \frac{M}{N_A}}{a^3}=\frac{nM}{N_A{a}^3}$$

同じ箱をすき間なく積むと結晶全体が埋まるので、箱1個の密度がそのまま結晶の密度になる。分母が$a^3$で済むのは箱が立方体だからで、六方最密構造のように立方体でない箱なら、体積を別に求めて分母に置く。

式の中で迷いやすいのは$n$だ。金属なら単位格子に入る原子の数で、体心立方格子は2、面心立方格子は4になる。イオン結晶では、陽イオンと陰イオンを組成式の組にまとめて数え、$M$も組成式の式量にそろえる。塩化カリウムKClで確かめよう。

5. 塩化物イオンを角と面の中心で数える

   $$\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{2}\times 6=4$$

6. カリウムイオンを辺の中点と中心で数える

   $$\frac{1}{4}\times 12+1=4$$

辺の中点にあるイオンは、その辺を囲む4つの単位格子で分けあうので、$\frac{1}{4}$ずつしか入らない。どちらのイオンも4個で、KClが4組。うっかりイオンの総数8を$n$に入れ、$M$にKClの式量を使うと、密度は2倍に出てしまう。

続いて単位をそろえる。米国標準局が25 °Cで測った塩化カリウムの格子定数は0.62931 nmだ。密度をg/cm³で出すなら、$a$をcmに直す。1 nmは$10^{-7}$ cm、1 pmは$10^{-10}$ cmである。

7. nmをcmに直す

   $$a=0.62931\mathrm{nm}=6.2931\times 10^{-8}\mathrm{cm}$$

8. 3乗し、10の指数を3倍にする

   $$a^3=6.2931^3\times 10^{-24}\approx 2.4923\times 10^{-22}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$$

9. 手順4に$n=4$と$M=74.55$を入れる

   $$d=\frac{4\times 74.55}{6.0221\times 10^{23}\times 2.4923\times 10^{-22}}\approx 1.987g/c{\mathrm{m}}^3$$

米国標準局が同じ格子定数から出した値は1.9865 g/cm³で、差は0.02%に満たない。$a^3$が$10^{-22}$ cm³の桁になると知っていれば、指数の書き間違いにすぐ気づけるだろう。分母の$N_A{a}^3$は約150 cm³で、単位格子を1 molぶん、つまり$6.02\times 10^{23}$個積んだ体積にあたる。その中にKClが4 mol、約298 g入っていると読めば、式の意味もつかみやすい。

最後に、式を逆向きに解く。

10. $n$について解く

    $$n=\frac{d{N}_A{a}^3}{M}$$

11. $N_A$について解く

    $$N_A=\frac{nM}{d{a}^3}$$

手順10が、ブラッグの言う「中にいくつ含まれるか」の計算にあたる。手順11は、結晶からアボガドロ定数を測る式だ。もっとも、2019年からアボガドロ定数は$6.02214076\times 10^{23}$ /molとちょうどに決められていて、測る量ではなくなった。それでも、シリコンの単結晶の球で原子を数える測定は、新しいキログラムの定義の値を決めるときに使われた。