ラーモアの公式

この計算の道すじ。 記号と単位を読み（手順1〜5）、等速では出ず、加速すると出るわけを、電場の線の折れ目でつかむ。次に折れ目の形から放射の電場を出し（手順6〜9）、流れを球面で足し合わせて公式を導く（手順10〜13）。最後に電子の放射を数で見積もり（手順14〜16）、古典的な水素原子が潰れるまでの時間を出す（手順17〜29）。

記号と単位を読む

$q$は電荷（C、クーロン）、$a$は加速度（m/s²）、$c$は光の速さで、約$3.00\times 10^8$ m/sである。${\epsilon }_0$はイプシロン・ゼロと読み、真空の誘電率という定数で、約$8.85\times 10^{-12}$ F/m。左辺の$P$は、1秒あたりに電荷から出ていく電磁波のエネルギー（W）だ。

右辺の単位がW（ワット）になることを確かめる。F/mは、${\mathrm{C}}^2/(\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2)$と同じ単位である。

1. 4つの量の単位を並べる

   $$\frac{{\mathrm{C}}^2\times {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^4}{{\mathrm{C}}^2/(\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2)\times {\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^3}$$

2. 分母の単位をまとめる

   $$\frac{{\mathrm{C}}^2\times {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^4}{{\mathrm{C}}^2\cdot m/(\mathrm{N}\cdot {\mathrm{s}}^3)}$$

3. C²を約分する

   $$\frac{{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^4}{m/(\mathrm{N}\cdot {\mathrm{s}}^3)}$$

4. 分母をひっくり返して掛ける

   $$\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^4}\times \frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{s}}^3}{\mathrm{m}}=\mathrm{N}\cdot m/s$$

5. N·mはJ（ジュール）、J/sはWと書きかえる

   $$\mathrm{N}\cdot m/s=J/s=\mathrm{W}$$

図で納得する

止まった電荷の電場の線は、電荷からまっすぐ四方へ伸びる。同じ速さで進む電荷も、一緒に動く人から見れば止まった電荷にすぎない。線はまっすぐのままで、どこにも折れ目は無く、電磁波も出ない。

では、加速するとどうなるか。止まっていた電荷を短い時間$\Delta t$だけ押して、速さ$\Delta v$にしたとする。電荷が動いたという知らせは、光の速さ$c$でしか伝わらない。だから時間$t$が経ったとき、半径$ct$より外の線は、まだ元の位置からまっすぐ伸びている。

半径$c(t-\Delta t)$より内の線は、今の位置からまっすぐ伸びる。2つの円にはさまれた厚さ$c\Delta t$の殻で、線はつながるしかない。ここに折れ目ができて電場が横向きの成分をもち、この折れ目が光の速さで外へ広がっていく。これが電磁波である。

加速の大きさ$a$を0にすると、線は折れない。$a$を大きくするほど折れ目は横へ大きくずれ、放射の強さは$a$の2乗で増える。加速と同じ向きの線は折れず、加速と直角の向きの線がいちばん大きく折れる。電場の線の折れ目から放射を考えるこの見方はJ・J・トムソンにさかのぼり、今も大学の講義で使われている。

式で確かめる

折れ目の電場を、外へ向かう成分$E_r$と、横向きの成分$E_{\theta }$に分ける。$\theta$（シータ）は、加速の向きと、測る点の向きとのなす角だ。殻の外の線と内の線は、電荷が動いた距離$\Delta vt$のぶんだけ横にずれていて、そのずれを線に直角な向きで測ると$\Delta vt\sin \theta$になる。

6. 折れ目の横と縦の比を、図の長さで書く

   $$\frac{E_{\theta }}{E_r}=\frac{\Delta vt\sin \theta }{c\Delta t}$$

7. $\frac{\Delta v}{\Delta t}=a$と、殻までの距離$r=ct$から$t=\frac{r}{c}$を入れる

   $$\frac{E_{\theta }}{E_r}=\frac{ar\sin \theta }{c^2}$$

8. 外向きの成分は、クーロンの法則の電場である

   $$E_r=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$$

9. 手順7の両辺に$E_r$を掛ける

   $$E_{\theta }=\frac{qa\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}r}$$

クーロンの電場は距離の2乗で弱まるが、折れ目の電場は距離に反比例して弱まるだけだ。遠くまで届くのは、この横向きの電場である。次に、ポインティング・ベクトルで読める電磁波の流れの大きさ$S=c{\epsilon }_0{E}^2$に入れる。$S$は、1秒に1 m²を通るエネルギー（W/m²）だった。

10. $E_{\theta }$を2乗して$c{\epsilon }_0$を掛ける

    $$S=\frac{q^2{a}^2{\sin }^2\theta }{16{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3{r}^2}$$

${\sin }^2\theta$がかかるので、放射は加速と直角の向き（90°）で最も強く、45°では半分、加速の向きには出ない。全部の向きに出るエネルギーを足すには、半径$r$の球の表面で$S$を平均し、表面積$4\pi r^2$を掛ければよい。

球を加速の向きに同じ幅の帯で切ると、帯の面積はどれも等しい。アルキメデスが見つけた性質で、$u=\cos \theta$を$-1$から1まで均等に動かして平均すれば、球の表面で平均したことになる。${\sin }^2\theta =1-u^2$の平均は、放物線$1-u^2$の下の面積を、幅の2で割った値だ。

放物線の下の面積は、中に描いた三角形（底辺2、高さ1で面積1）の$\frac{4}{3}$倍になる。アルキメデスが『放物線の求積』で示した値で、等比級数の和からも出せる。$\int$は細かく分けて足す記号で、手順11ではこの面積を表す。

11. ${\sin }^2\theta$の球面での平均を求める

    $$\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1(1-u^2)du=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}=\frac{2}{3}$$

12. 平均した$S$に表面積$4\pi r^2$を掛ける

    $$P=\frac{q^2{a}^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3{r}^2}\times \frac{2}{3}\times 4\pi r^2$$

13. $r^2$と$\pi$を約分する

    $$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$$

$r$が消えたので、どれだけ大きな球で測っても、1秒に出ていくエネルギーは同じになる。

電子1個の放射を見積もる

電子を$10^{18}$ m/s²で加速したときの放射を出す。電子の電荷は$1.602\times 10^{-19}$ Cである。

14. 分子に電荷と加速度を入れる

    $$\begin{array}{rl}{q}^2{a}^2& =(1.602\times 10^{-19}{)}^2\times (10^{18}{)}^2\\ & =2.566\times 10^{-2}\end{array}$$

15. 分母に定数を入れて計算する

    $$\begin{array}{rl}6\pi {\epsilon }_0{c}^3& =6\pi \times 8.854\times 10^{-12}\\ & \times (2.998\times 10^8{)}^3\\ & =4.497\times 10^{15}\end{array}$$

16. 分子を分母で割る

    $$P=\frac{2.566\times 10^{-2}}{4.497\times 10^{15}}\approx 5.7\times 10^{-18}\text{W}$$

$10^{18}$ m/s²は、電子を1 mあたり約570万ボルトの電場に置いたときの加速度にあたる。そこまで強く押しても、出る電磁波は1秒に$5.7\times 10^{-18}$ Jしかない。加速を2倍の$2\times 10^{18}$ m/s²にすると、$a^2$が4倍になるので、放射も4倍の$2.3\times 10^{-17}$ Wになる。

古典的な原子が潰れる

水素原子の電子が、陽子のまわりを半径$r$の円で回っているとする。円運動は向きが変わり続ける運動なので、電子はいつも中心へ向かって加速している。だとすれば、電子は電磁波を出し続け、エネルギーを失って中心へ落ちていくはずだ。$m$は電子の質量、$v$は回る速さである。

17. クーロン力を質量で割って、加速度を出す

    $$a=\frac{q^2}{4\pi {\epsilon }_{0}m{r}^2}$$

18. $r_e=\frac{q^2}{4\pi {\epsilon }_{0}m{c}^2}$とおいて書きかえる

    $$a=\frac{r_e{c}^2}{r^2}$$

$r_e$は古典電子半径と呼ばれる長さで、約$2.818\times 10^{-15}$ mである。

19. 円運動の式$\frac{m{v}^2}{r}=\frac{q^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$の両辺に$\frac{r}{2}$を掛けて、運動エネルギーを出す

    $$\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{q^2}{8\pi {\epsilon }_{0}r}$$

20. 位置エネルギー$-\frac{q^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$を足し、$r_e$で書く

    $$E=-\frac{q^2}{8\pi {\epsilon }_{0}r}=-\frac{m{c}^2{r}_e}{2r}$$

21. 公式の$q^2$を、手順18の$r_e$の式から$4\pi {\epsilon }_{0}m{c}^2{r}_e$に置きかえる

    $$P=\frac{2m{r}_e{a}^2}{3c}$$

22. 手順18の$a$を入れる

    $$P=\frac{2m{r}_e^3{c}^3}{3r^4}$$

半径が$r$から$r+\Delta r$へ少しだけ変わると（縮むときは$\Delta r$が負）、手順20のエネルギーは$\frac{m{c}^2{r}_e}{2r^2}\Delta r$だけ変わる。$\frac{1}{r+\Delta r}-\frac{1}{r}=-\frac{\Delta r}{r(r+\Delta r)}$で、$\Delta r$が小さければ分母を$r^2$とみなせるからだ。縮むとこの変化は負になり、減ったぶんが時間$\Delta t$のあいだに電磁波で出ていく$P\Delta t$に等しい。

もう一つ、$r^3$の変化も使う。$(r+\Delta r{)}^3=r^3+3r^2\Delta r+3r(\Delta r{)}^2+(\Delta r{)}^3$で、$\Delta r$が小さければ後ろの2つの項は無視できるので、$r^3$の変化は$3r^2\Delta r$である。

23. エネルギーの変化を、出ていった$P\Delta t$のマイナスとおく

    $$\frac{m{c}^2{r}_e}{2r^2}\Delta r=-\frac{2m{r}_e^3{c}^3}{3r^4}\Delta t$$

24. 両辺に$\frac{2r^4}{m{c}^2{r}_e}$を掛ける

    $$r^2\Delta r=-\frac{4}{3}{r}_e^{2}c\Delta t$$

25. $r^3$の変化は$3r^2\Delta r$なので、両辺を3倍する

    $$\Delta (r^3)=-4r_e^{2}c\Delta t$$

26. $r^3$は一定の速さで減るので、はじめの半径$r_0$から0になるまでの時間を出す

    $$T=\frac{r_0^3}{4r_e^{2}c}$$

27. 分子の$r_0$にボーア半径$5.292\times 10^{-11}$ mを入れる

    $$\begin{array}{rl}{r}_0^3& =(5.292\times 10^{-11}{)}^3\\ & =1.482\times 10^{-31}\end{array}$$

28. 分母に$r_e$と$c$を入れる

    $$\begin{array}{rl}4r_e^{2}c& =4\times (2.818\times 10^{-15}{)}^2\\ & \times 2.998\times 10^8\\ & =9.523\times 10^{-21}\end{array}$$

29. 分子を分母で割る

    $$T=\frac{1.482\times 10^{-31}}{9.523\times 10^{-21}}\approx 1.6\times 10^{-11}\text{s}$$

手順25で$r^3$がまっすぐ減るので、半径ははじめゆっくり縮み、最後に一気に中心へ落ちる。古典物理の計算では、水素原子は1000億分の1.6秒ほどで潰れてしまう。ところが実際の水素原子は潰れず、いつまでも同じ大きさを保つ。このくい違いは古典物理では解けず、量子論が出てくるまで残った。