回路の量子トンネル（手で持てる大きさの量子力学）

この証明の道すじ。 接合の波のずれを1つの変数に取り、回路の式をボールと坂の式に写す（手順1〜5）。谷の底をばねとみて揺れの速さを出し、波が谷に収まる条件から段を出す（手順6〜11）。手順12〜18は大学の式での確認で、飛ばしても話はつながる。最後に、実験が熱と雑音をどう退けたかをたどる。

式の文字を読む

$E_n$は番号$n$の段のエネルギーで、$n$は下から0、1、2と数える。$\hslash$（エイチバー）はプランク定数$h$を$2\pi$で割った数だ。${\omega }_p$（オメガ・ピー）はプラズマ角振動数といい、回路が自然に揺れる速さを1秒あたりの角度で表す。

角度の1周は$2\pi$（約6.28）なので、1秒に$f$回揺れるなら${\omega }_p=2\pi f$である。すると$\hslash {\omega }_p=hf$となり、プランクの関係式と同じ形が段の間隔に現れる。

ばねや振り子なら、揺れ幅を変えてエネルギーをいくらでも細かく変えられる。この式は違う。高さは$\hslash {\omega }_p$の$\frac{1}{2}$倍、$\frac{3}{2}$倍、$\frac{5}{2}$倍と飛び、途中の高さを取れない。

薄い壁と1つの変数

ジョセフソン接合は、2枚の超伝導体を厚さ約2 nmの絶縁膜で隔てた部品である。超伝導体は、冷やすと電気抵抗が0になる物質だ。その中で電子は2個ずつ対を作り、クーパー対と呼ばれる。対はみな同じ1つの波で表せる。

波には山の位置がある。膜の左右で山がどれだけずれているかを位相差$\delta$（デルタ）といい、波1周ぶんのずれを$2\pi$と数える。

何が「大きい」のだろうか。チップが壁を抜けるわけでも、電子が束になって飛ぶわけでもない。数十億個の対に共通の$\delta$が、たった1つの変数として振る舞う。壁を抜けるのはこの$\delta$の値で、物ではない。

結晶の原子が何個あっても重心は1つ、という話と似ている。マルティニスのノーベル講演のスライドも、結晶の重心と超伝導体の位相を並べて示した。「巨視的」は、チップの寸法より、1つの変数が膨大な数の対をまとめて表すことを指す。

ジョセフソンの2つの式が、$\delta$と電気の量を結ぶ。sin（サイン）は半径1の円を角度$\delta$だけ回った点の高さで、$-1$から1の間を往復する。

1. 接合を流れる電流は$\delta$で決まる。最大の値$I_c$を臨界電流という

   $$I=I_c\sin \delta$$

2. 電圧$V$があると$\delta$は動く。$\delta$が1秒に増える量を$v$と書く（$e$は電子の電気量の大きさ）

   $$v=\frac{2e}{\hslash }V$$

$\delta$が止まっていれば$v=0$で、電圧は0だ。つまり、電流が流れているのに電圧が無い。この状態をゼロ電圧状態という。

傾いた洗濯板

接合はコンデンサーでもあり、電圧が変わると別の電流が流れる。その大きさは、静電容量$C$と、電圧が1秒に増える量の積である。$v$が1秒に増える量を$a$（$\delta$の加速度）と書く。

3. 電圧が1秒に増える量は手順2から$\frac{\hslash }{2e}a$である。これに$C$を掛けた電流を手順1に足す

   $$I=I_c\sin \delta +\frac{\hslash C}{2e}a$$

4. $I_c\sin \delta$を左辺へ移して左右を入れ替え、両辺に$\frac{\hslash }{2e}$を掛ける。$a$の前の係数を質量$m$とみれば「質量×加速度＝力」の形である

   $$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{\hslash }{2e}\right)}^{2}Ca\\ & =\frac{\hslash }{2e}\left(I-I_c\sin \delta \right)\end{array}$$

5. 力は坂の傾きから生まれる。$E_J=\frac{\hslash I_c}{2e}$と置くと、この力を生む坂の高さは次の形になる（$\cos \delta$の傾きが$-\sin \delta$になることを使う）

   $$U(\delta )=-E_J\left(\cos \delta +\frac{I}{I_c}\delta \right)$$

cos（コサイン）は円の点の横の位置で、波打つ。波に直線の坂を足すと、波板を斜めにした形、傾いた洗濯板ができる。$I/I_c=0.5$なら、$\delta =0$で$U/E_J=-1$、$\delta =\pi$（約3.14）で$1-0.5\times 3.14\approx -0.57$である。$\delta$が進むのに高さが上がるので、ここに壁がある。

電流のつまみが坂の傾きを決める。$I$が$I_c$に近づくと谷は浅くなり、超えると消える。ボールが谷にいれば$\delta$は動かず電圧は0で、坂を走りだせば$\delta$が増え続けて電圧が出る。

ボールの位置が$\delta$、速さが電圧$V$、重さが静電容量$C$、坂の傾きが電流$I$に当たる。ただし、ボールは本物の粒ではない。$\delta$という1つの変数が従う式が、坂を転がるボールの式と同じ形になるだけである。

谷の底はばね

谷の底の近くだけを見ると、坂はばねの放物線に重なる。底の位置${\delta }_0$では力が0なので、手順4から$\sin {\delta }_0=I/I_c$となる。

エネルギーを$h$で割ると振動数になる（$E=hf$の$f$）。段や壁の高さをこの単位GHz（1秒に10億回）で言えば、マイクロ波の振動数とじかに比べられる。

6. 底からのずれを$q=\delta -{\delta }_0$とする。$\sin$の傾きは$\cos$なので、$q$が小さければ手順4の力は$-E_J\cos {\delta }_0\times q$になる。これはばねの力$-kq$の形で、ばね定数は$k=E_J\cos {\delta }_0$である

   $$U\approx U_0+\frac{1}{2}k{q}^2$$

7. 三平方の定理${\sin }^2{\delta }_0+{\cos }^2{\delta }_0=1$で、$\cos {\delta }_0$を電流で書く

   $$k=E_J\sqrt{1-{\left(\frac{I}{I_c}\right)}^2}$$

8. ばねの揺れの速さは$\omega =\sqrt{k/m}$である。手順4の$m=(\hslash /2e{)}^{2}C$と手順7を入れる

   $${\omega }_p=\sqrt{\frac{2e{I}_c}{\hslash C}}{\left[1-{\left(\frac{I}{I_c}\right)}^2\right]}^{1/4}$$

右上の$1/4$は「平方根をもう一度取る」という意味だ。電流を$I_c$に近づけると、かっこの中が0に近づき、揺れはゆっくりになる。だから、電流のつまみで段の間隔を変えられる。

図で納得する

ただ、$\delta$はボールのように1点には定まらない。谷の中に広がる波で表され、波はシュレーディンガー方程式に従う。超伝導体の波とは別の波で、$\delta$がどの値を取りやすいかを表す。弦の振動と同じで、谷にぴったり収まる形しか残らない。

節（波が0になる所）の数が段の番号$n$になる。節が1つ増えるごとに、エネルギーが$\hslash {\omega }_p$ずつ増える。

9. 放物線の谷で許されるエネルギーは、等間隔の段になる

   $$E_n=\hslash {\omega }_p\left(n+\frac{1}{2}\right)$$

なぜ$\frac{1}{2}$が残るのか。谷に閉じ込めた波は幅を持ち、幅を持つ波は動きも持つ。不確定性原理のとおり、位置と動きを同時に0にはできない。

この最低のエネルギーを零点エネルギーといい、絶対零度まで冷やしても消えない。

式の「≈」は、谷が本当は放物線でないことを指す。壁に近づくほど谷は放物線より開くので、上の段ほど詰まる。方程式を数値で解くと、$I=30.40$ µAで段0のずれは約1%、段3では約6%である。

壁の中でも波は0にならない。谷から離れるほど急に小さくなるが、壁の向こうへ少しだけ出る。これがトンネル効果で、エネルギーが足りなくても壁の外に現れる確率が残る。

10. 壁に1回ぶつかって抜ける確率は指数の形になる。$S$は壁の高さと厚みで決まる正の数で、$\mathrm{e}$は約2.718（手順2の電気量とは別）である

    $$\text{抜ける確率}\approx {\mathrm{e}}^{-S}$$

11. 波は1秒に約$f$回ぶつかるので、1秒あたりの抜ける回数$\Gamma$（ガンマ）は次の形になる

    $$\Gamma \approx f{\mathrm{e}}^{-S}$$

たとえば$S=10$なら約2万2,000回に1回、$S=20$なら約5億回に1回である。指数なので、$S$のわずかな差が桁の差になる。

上の段ほど壁は低く薄いので、$S$がぐんと小さくなる。$I=30.44$ µAで摩擦と熱を入れない計算では、$S$は段0、1、2で22.6、15.4、9.1となり、平均の待ち時間は3.3秒、2.5 ms、5.2 µsと縮む。壁の厚みを見比べるには、「電流を上げて壁を薄くする」のシミュレーションで段を選べばよい。

待ち時間は1回ごとにばらつく。電圧がまだ出ていない割合は、放射性崩壊の法則と同じ形の${\mathrm{e}}^{-\Gamma t}$で減り、平均の待ち時間は$1/\Gamma$である。アルファ崩壊もトンネル効果で起き、ノーベル委員会の解説もこの測定を半減期の測定になぞらえている。

式で確かめる

手順12〜18は微分と積分を使う。読み飛ばして「熱か、通り抜けか」へ進んでも、話はつながる。

手順9の$\frac{1}{2}$は、波の形を入れれば確かめられる。$\psi$（プサイ）を波の高さ、${\psi }^{\prime \prime }$を$q$で2回微分した量（波の曲がり具合）とする。

12. 放物線の谷のシュレーディンガー方程式を書く

    $$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\psi }^{\prime \prime }+\frac{1}{2}m{\omega }_p^2{q}^2\psi =E\psi$$

13. 節のない形$\psi ={\mathrm{e}}^{-b{q}^2}$を入れる。2回微分すると${\psi }^{\prime \prime }=(4b^2{q}^2-2b)\psi$なので、両辺を$\psi$で割る

    $$\begin{array}{rl}& -\frac{{\hslash }^2}{2m}(4b^2{q}^2-2b)\\ & +\frac{1}{2}m{\omega }_p^2{q}^2=E\end{array}$$

14. どの$q$でも成り立つには$q^2$の係数が消えるので、$b=\frac{m{\omega }_p}{2\hslash }$である。残りから$E$が決まる

    $$E=\frac{{\hslash }^{2}b}{m}=\frac{1}{2}\hslash {\omega }_p$$

節が1つの形$\psi =q{\mathrm{e}}^{-b{q}^2}$を同じように入れると$E=\frac{3}{2}\hslash {\omega }_p$になる。一般の$n$は量子力学の教科書で、演算子を使って導かれる。

指数$S$は、WKB近似（波の減り方を少しずつ足す近似）の式で求める。$I$が$I_c$に近いとき、谷と壁は3次式で書ける。

15. $w$は谷の底から壁の出口までの長さである。壁の高さ$\Delta U$は$q=\frac{2}{3}w$の高さになる

    $$\begin{array}{rl}U& =\frac{1}{2}m{\omega }_p^2{q}^2\left(1-\frac{q}{w}\right)\\ \Delta U& =\frac{2}{27}m{\omega }_p^2{w}^2\end{array}$$

16. $S$の定義を書く。波の高さは壁の中で指数の形に減り、確率は高さの2乗なので前に2が付く。$\int$は細かく分けて足す記号で、$E$を底の高さ0と置く

    $$S=\frac{2}{\hslash }{\int }_0^w\sqrt{2mU}dq$$

17. $\sqrt{2mU}=m{\omega }_{p}q\sqrt{1-q/w}$である。積分の値$\frac{4}{15}{w}^2$を使う

    $$S=\frac{8}{15}\cdot \frac{m{\omega }_p{w}^2}{\hslash }$$

18. 手順15から$m{\omega }_p^2{w}^2=\frac{27}{2}\Delta U$を入れる

    $$S=\frac{36}{5}\cdot \frac{\Delta U}{\hslash {\omega }_p}=7.2\frac{\Delta U}{\hslash {\omega }_p}$$

次の節の式に出る7.2は、この数だ。実際には段0の高さから測るので$S$は少し下がる。$I=30.44$ µAなら、$7.2\Delta U/\hslash {\omega }_p\approx 27.1$が$S\approx 22.6$になり、抜ける回数は${\mathrm{e}}^{4.5}\approx 90$倍に増える。次の節の係数$a_q$（この電流で約101）は、この増え方を受け持つ。

熱か、通り抜けか

電圧が出る道は2つある。熱で壁を越える道と、波が通り抜ける道である。$k_B$はボルツマン定数で、$k_{B}T$は温度$T$での熱の大きさを表す。

クラークの講演では、2つの率が次の形で並ぶ。$a_t$は1以下、$a_q$は100前後の係数で、$Q$は摩擦の小ささを表す数である。カルデイラとレゲットが計算したとおり、摩擦は通り抜けを少し減らす。

$$\begin{array}{rl}{\Gamma }_t& =a_{t}f\exp \left(-\frac{\Delta U}{k_{B}T}\right)\\ {\Gamma }_q& =a_{q}f\exp \left[-7.2\frac{\Delta U}{\hslash {\omega }_p}\left(1+\frac{0.87}{Q}\right)\right]\end{array}$$

$\exp (x)$は${\mathrm{e}}^x$と同じである。見るところは1つ、指数の中の温度だ。${\Gamma }_t$には$T$があって冷やすと急に減るが、${\Gamma }_q$には$T$が入っていない。だから冷やしていくと、ある温度で主役が交代する。$Q$が十分大きければ、その温度は次の式で決まる。

$$T_{\text{交代}}=\frac{\hslash {\omega }_p}{2\pi k_B}$$

温度を18 mKにすると、熱だけなら待ち時間は約0.6秒まで伸びるが、通り抜けがあると約9 µsで止まる。50 mKより上では2本がほぼ重なる。数は講演の式に、1985年の接合に近い値（振動数4 GHz、壁の高さは段の間隔2個ぶん、$Q=30$。弱めた接合は2 GHz、3個ぶん）を入れた模型で、測定値ではない。

ここで「雑音が漏れた接合」（60 mK相当の雑音と置いた例）を選ぶと、やはり平らになる。ただ、平らな高さが通り抜けの予言からずれる。平らさだけでは証拠にならず、高さまで合わせる必要があった。

バークレーの3人は、まず、あとから調整できる数を無くした。臨界電流も静電容量も摩擦も、熱の道が主役の高い温度で別に測り、その数だけで予言を作ったのである。次に、同じチップを温度計に使った。磁場で臨界電流を9.489 µAから約1.383 µAへ下げると、${\omega }_p$が小さくなる。ノーベル委員会の解説の図で読むと、交代の温度は約30 mKから約15 mKへ下がる。

弱めた接合は18 mKでも熱の道に従った。つまり、チップは本当に18 mKまで冷えていて、余分な雑音も届いていない。磁場をかけないと、待ち時間の伸びは50 mKの下で鈍り始め、25 mKの下で温度によらなくなった。平らな高さは、測った数だけで作った予言と合っていた。

マイクロ波で段を測る

段そのものは、どう見えたのか。マイクロ波を当てると、光子1個のエネルギー$hf$が段の間隔に合うときだけ、接合は上の段へ上がる。上の段は壁が薄いので、待ち時間が急に縮む。

$$hf=E_{n+1}-E_n$$

電流で間隔を変えながら2.0 GHzを当て、28 mKで測ると、抜ける率に3本の山が出た。この温度では熱で上の段にも少し居るので、0→1だけでなく1→2と2→3の山も見える。

この接合のシュレーディンガー方程式を数値で解くと、2.0 GHzに合う電流は0→1が約30.45 µA、1→2が約30.43 µA、2→3が約30.41 µAになる。論文も同じ計算で位置を予言し、山は実験の誤差の範囲でそこに現れた。等間隔の段なら山は1本にまとまるはずで、3本に分かれたこと自体が段の詰まり方を示している。