レスリー行列

図で納得する

小さな動物の集団を、0歳、1歳、2歳の3つの年齢に分けて数えてみる。1年たつと、生き残ったものは1つ上の年齢へ移り、どの年齢の親も子を残して0歳を増やす。この「どこからどこへ何匹動くか」を矢印で描いた図が、生活環のグラフだ。

$F_0$、$F_1$、$F_2$は、その年齢の1匹が1年のあいだに残す0歳の子の数（数える時期まで生き残った子の数）だ。$P_0$は0歳が翌年まで生き残って1歳になる割合、$P_1$は1歳が2歳になる割合で、0から1の値をとる。ただし2歳から先への矢印は無く、2歳は翌年までにすべていなくなるものとする。

行列は数を四角に並べた表で、横の並びを行、縦の並びを列と呼ぶ。生活環のグラフの矢印を「どの列の年齢から、どの行の年齢へ」のマスに書き写すと、レスリー行列$L$ができあがる。

1行目は子が生まれる道、2行目と3行目は生き残って1つ上へ移る道で、0のマスはその道が無いことを表す。では、行列に縦の並びを掛けるにはどうするか。行ごとに「行の数×並びの数」を順に足していけばよい。

この例では、1歳は1年に3匹、2歳は4.5匹の子を残し、0歳と1歳はそれぞれ半分が翌年まで生き残る。0歳100匹、1歳40匹、2歳20匹から始めて、同じ掛け算をくり返した結果が次の表だ。

前年比は揺れながら1.5に近づき、年齢の割合も落ち着いていく。どこから始めても、やがて同じ倍率と同じ割合に行き着くのが、この計算の面白いところだ。

帯の1本が1年分で、上から斜線の0歳、塗りつぶした1歳、中の抜けた2歳の割合を表す。0歳だけ100匹から始めても、10年ほどで帯の区切りはそろってくる。ところが0歳が生き残る割合を下げていくと、前年比は1を割り、集団は減っていく。

式で確かめる

道すじは2段。3つの年齢の式を書いて行列にまとめ（手順1〜5）、次に、毎年同じ倍率$\lambda$で増える頭数の並びを探して、$\lambda$の式を出す（手順6〜15）。$n_0(t)$は$t$年の0歳の頭数を表す。

1. 0歳は、それぞれの年齢の親が残した子の和

   $$\begin{array}{rl}{n}_0(t+1)& =F_0{n}_0(t)+F_1{n}_1(t)\\ & +F_2{n}_2(t)\end{array}$$

2. 1歳は、去年の0歳のうち生き残ったもの

   $$n_1(t+1)=P_0{n}_0(t)$$

3. 2歳は、去年の1歳のうち生き残ったもの

   $$n_2(t+1)=P_1{n}_1(t)$$

4. 3つの式を、行列と縦の並びの掛け算にまとめる（並びの右下の添え字が年）

   $${\left(\begin{array}{c}{n}_0\\ n_1\\ n_2\end{array}\right)}_{t+1}=\left(\begin{array}{ccc}{F}_0& F_1& F_2\\ P_0& 0& 0\\ 0& P_1& 0\end{array}\right){\left(\begin{array}{c}{n}_0\\ n_1\\ n_2\end{array}\right)}_t$$

5. 縦の並びを太字の$\mathbf{n}$、行列を$L$と書く

   $${\mathbf{n}}_{t+1}=L{\mathbf{n}}_t$$

手順1〜3は、各年齢の円に入ってくる矢印を足した式だ。手順4のように並べると、行列の1行が1つの式にあたる。

6. どの年齢も毎年$\lambda$倍になる並びを探す

   $${\mathbf{n}}_{t+1}=\lambda {\mathbf{n}}_t$$

7. 手順2の左辺を$\lambda n_1$に置きかえ、両辺を$\lambda$で割る（$t$は省く）

   $$n_1=\frac{P_0}{\lambda }{n}_0$$

8. 手順3の左辺を$\lambda n_2$に置きかえ、両辺を$\lambda$で割る

   $$n_2=\frac{P_1}{\lambda }{n}_1$$

9. 手順7を入れる

   $$n_2=\frac{P_0{P}_1}{{\lambda }^2}{n}_0$$

10. 手順1の左辺を$\lambda n_0$に置きかえる

    $$\lambda n_0=F_0{n}_0+F_1{n}_1+F_2{n}_2$$

11. 手順7と手順9を入れる

    $$\begin{array}{rl}\lambda n_0& =F_0{n}_0+\frac{F_1{P}_0}{\lambda }{n}_0\\ & +\frac{F_2{P}_0{P}_1}{{\lambda }^2}{n}_0\end{array}$$

12. 両辺に$\frac{{\lambda }^2}{n_0}$を掛ける

    $${\lambda }^3=F_0{\lambda }^2+F_1{P}_0\lambda +F_2{P}_0{P}_1$$

13. 例の値（$F_0=0$、$F_1=3$、$F_2=4.5$、$P_0=P_1=0.5$）を入れる

    $${\lambda }^3=1.5\lambda +1.125$$

14. 表で前年比が近づいた$\lambda =1.5$を入れて確かめる

    $$1.5^3=3.375=1.5\times 1.5+1.125$$

15. 手順7と手順9に$\lambda =1.5$を入れ、比を9倍して整数にする

    $$n_0:n_1:n_2=1:\frac{1}{3}:\frac{1}{9}=9:3:1$$

実際、9:3:1の並びに$L$を掛けると、全体がちょうど1.5倍になっている。

この$\lambda$を行列$L$の固有値、9:3:1の並びを固有ベクトルと呼ぶ。割合が落ち着いたあとは全体が毎年$\lambda$倍になるので、$\lambda$が1より大きければ集団は増え、1より小さければ減る。