等比数列の一般項

等比数列は、どの項にも同じ数を掛けると次の項になる数列である。初項を$a$、掛ける数を$r$とする。この$r$が公比で、負の数でも分数でもよい。

1. 次の項は前の項に公比を掛けたもの

   $$a_{k+1}=a_{k}r$$

2. $k=1$, 2と順に当てはめる

   $$a_2=ar,a_3=a_{2}r=a{r}^2$$

3. 第$n$項までに掛けた$r$を並べる

   $$a_n=a\underset{n-1\text{個}}{\underbrace{r\cdot r\cdots r}}$$

4. 同じ数の積を累乗にまとめる

   $$a_n=a{r}^{n-1}$$

項と項の移り変わりは、第1項から第$n$項までに$n-1$回しかない。$n=1$でも$r^0=1$なので、式は初項$a$に戻る。同じ数え方で、途中の項どうしもつなげられる。

5. 第$m$項から第$n$項まで（$m<n$）は$n-m$回掛ける

   $$a_n=a_m{r}^{n-m}$$

手順5が効くのは、初項が分からないときだ。第3項が12、第6項が−96なら、$12r^3=-96$から$r^3=-8$となる。実数の3乗根は1つしかないので、$r=-2$に決まる。ところが、間が2回のときは事情が変わる。第2項が12、第4項が27なら$r^2=\frac{9}{4}$で、$r=\frac{3}{2}$と$r=-\frac{3}{2}$の2つの数列がどちらも条件を満たす。

並び方は、公比の符号と大きさで決まる。$r=-2$なら符号が1つおきに入れ替わり、絶対値は倍々に増える。$r=\frac{1}{2}$なら同じ符号のまま半分ずつ縮み、$r=-\frac{1}{2}$なら符号を入れ替えながら縮む。$r^{n-1}$の符号は$n-1$の偶奇で決まるから、$r<0$の数列では、奇数番目の項が初項と同じ符号をもつ。縮み続けた先にどこへ近づくかは、無限等比数列の極限で確かめられる。

では、並んだ3つの数のうち、真ん中だけが分からないときはどうするか。記号を改め、この順に等比数列をなす3つの数を$a$, $b$, $c$、公比を$r$とする。

6. 隣どうしの関係を書く

   $$b=ar,c=br$$

7. $c=br$の両辺に$a$を掛ける

   $$ac=abr$$

8. $ar$を$b$に置き換える

   $$ac=b\cdot b=b^2$$

この$b$を、$a$と$c$の等比中項という。エウクレイデスは『原論』第6巻の命題13で、2つの線分の比例中項を半円で作図している。長さとして作れば6だけが出るが、数の列では$b=-6$でもかまわない。4, −6, 9は公比$-\frac{3}{2}$の等比数列だ。$b^2=ac$から$b=\pm \sqrt{ac}$の両方を残すのは、このためである。$ac$が負なら、実数の等比中項はない。

逆に、$b^2=ac$なら等比数列といえるのだろうか。$a\ne 0$かつ$b\ne 0$なら、$r=\frac{b}{a}$とおくと$c=\frac{b^2}{a}=br$となり、言える。ところが0を含むと崩れる。0, 0, 5は$0^2=0\times 5$を満たすのに、0に何を掛けても5にはならない。$b^2=ac$を等比数列の条件として逆向きに使えるのは、3つの数がどれも0でないと分かっているときだ。