人工物と生き物の重さが並ぶ年（2020±6年）

人工物の重さを$M_{\mathrm{a}}(t)$、生き物の重さを$M_{\mathrm{b}}$とする（$t$は西暦の年）。公開データでは、生き物の乾いた重さは1900年の約1.16兆トンから2017年の約1.12兆トンへ、3%あまり減っただけなので、$M_{\mathrm{b}}$を一定とみる。人工物の重さは厳密な指数関数では増えず、倍になる年数も時代で変わる。ここでは交わる年の前後だけを見て、$T_2$年ごとに倍になるとおく。

1. 年$t_0$の人工物の重さを$M_0$とし、倍になる年数$T_2$で書く。

   $$M_{\mathrm{a}}(t)=M_0{2}^{(t-t_0)/T_2}$$

2. $2^x=e^{x\ln 2}$を使うと、1年あたりの増える割合$r$で書ける。放射性崩壊の半減期$T_{1/2}=\ln 2/\lambda$を、増える向きにしただけの形である。

   $$\begin{array}{rl}{M}_{\mathrm{a}}(t)& =M_0{e}^{r(t-t_0)}\\ r& =\frac{\ln 2}{T_2}\end{array}$$

3. 交わる年$t^{\ast }$では、2つの重さが等しい。

   $$M_0{2}^{(t^{\ast }-t_0)/T_2}=M_{\mathrm{b}}$$

4. 両辺を$M_0$で割り、2を底とする対数をとる。

   $$\frac{t^{\ast }-t_0}{T_2}={\log }_2\frac{M_{\mathrm{b}}}{M_0}$$

5. $t^{\ast }$について解く。

   $$t^{\ast }=t_0+T_2{\log }_2\frac{M_{\mathrm{b}}}{M_0}$$

6. 生き物の重さを$k$倍の物差しで量り直すと（$M_{\mathrm{b}}\to k{M}_{\mathrm{b}}$）、${\log }_{2}k{M}_{\mathrm{b}}={\log }_{2}k+{\log }_2{M}_{\mathrm{b}}$なので、交わる年は次の分だけ遅れる（$k<1$なら早まる）。

   $$\Delta t^{\ast }=T_2{\log }_{2}k$$

7. 人工物の側に、その$w$倍の量を足して数えると（$M_0\to (1+w)M_0$）、交わる年は早まる。

   $$\Delta t^{\ast }=-T_2{\log }_2(1+w)$$

8. 生き物の重さの見積もりが割合$\delta$だけ違うときも、6で$k=1+\delta$とおけばよい。$\delta$が小さければ$\ln (1+\delta )\approx \delta$が使える。

   $$\begin{array}{rl}\Delta t^{\ast }& =T_2{\log }_2(1+\delta )\\ & \approx \frac{T_2}{\ln 2}\delta \end{array}$$

数を入れてみる。公開データでは、2000年末の人工物は約0.57兆トン、生き物は約1.12兆トンだった。$T_2=20$年とすると、5から$t^{\ast }-t_0=20{\log }_2(1.12/0.573)\approx 19.3$年で、2000年末から数えると2020年ごろになる。公開データを1年ずつ見ても、使用中の人工物は2019年末の1.11兆トンから2020年末の1.15兆トンのあいだで、生き物の1.12兆トンを越える。ただし、2016年からの人工物の値は、著者たちが直前5年の伸び方で延ばしたものである。

6の物差しの替え方が、冒頭の3つの年をつないでいる。水を含む重さは乾いた重さの約2倍なので$k=2$で、${\log }_{2}2=1$だから、交わる年はちょうど$T_2$だけ遅れ、2040年ごろになる。著者たちの2037年（±10年）が少し早いのは、2016年からの延長で倍になる年数が18年ほどに縮んでいるためだ。2013年には、取り壊したり使わなくなったりした物の重さが、使用中の人工物の約28%あった。7に$w=0.28$を入れると$\Delta t^{\ast }=-20{\log }_{2}1.28\approx -7$年で、交わる年は2013年に早まる。

物差しを2倍にしても、ずれるのは$T_2$年だけ。

つまり、指数で増える量を相手にすると、数え方の違いは「何年早いか遅いか」という小さな差に縮む。8も同じ見方で読める。2010年代の公開データでは、生き物の重さの見積もりの幅は標準偏差で11〜16%あった。$\delta =\pm 16\%$なら、交わる年は4.3年遅れるか5.0年早まる。対数のせいで、ずれは前後で少し違う。生き物の重さの不確かさだけで、交わる年は前後に4〜5年動くことになる。論文の±6年は、起源の章で見た1万回の計算から出た値で、この手計算より少し広い。