AIで生産性はどれだけ上がるか（アセモグルの0.66%）

式の中身は、家計簿の計算に近い。弁当を作る費用の20%を容器代が占めるとしよう。容器が10%安くなれば、弁当の費用は2%下がる。割合に削減率を掛けるだけである。

ただ、経済全体ではもう1つ確かめることがある。コストが下がれば、企業は人や設備を作業のあいだで動かす。その動きの分を足さなくてよいのだろうか。

小さな変化なら、足さなくてよい。論文の2.4節は、包絡線定理を使う脚注1つでこの点を処理する。ここでは作業を$n$個に分け、手で確かめる。市場は競争的で、規模に関して収穫一定とし、労働と資本の総量はいったん固定する。

1. 最終財$Y$は作業の産出$y_i$から作られ、各作業の産出は生産性$A_i$と労働$L_i$、資本$K_i$で決まる。

   $$\begin{array}{rl}Y& =F(y_1,\dots ,y_n)\\ y_i& =A_i{f}_i(L_i,K_i)\end{array}$$

2. 労働と資本の総量は決まっている。

   $$\begin{array}{rl}\sum _i{L}_i& =L\\ \sum _i{K}_i& =K\end{array}$$

3. 競争市場では、最終財で測った作業$i$の価格$p_i$は、最終財への限界的な貢献に等しい。

   $$p_i=\frac{\partial F}{\partial y_i}$$

4. どの作業でも、企業は労働の限界生産物の価値が賃金$w$に、資本の限界生産物の価値がレンタル料$r$に等しくなるまで雇う。

   $$\begin{array}{rl}{p}_i{A}_i\frac{\partial f_i}{\partial L_i}& =w\\ p_i{A}_i\frac{\partial f_i}{\partial K_i}& =r\end{array}$$

5. $Y$を全微分する。

   $$dY=\sum _i{p}_{i}d{y}_i$$

6. $y_i$を全微分する。

   $$\begin{array}{rl}d{y}_i=& f_{i}d{A}_i\\ & +A_i\frac{\partial f_i}{\partial L_i}d{L}_i\\ & +A_i\frac{\partial f_i}{\partial K_i}d{K}_i\end{array}$$

7. 手順5に入れ、手順4で置き換える。

   $$\begin{array}{rl}dY=& \sum _i{p}_i{f}_{i}d{A}_i\\ & +w\sum _{i}d{L}_i\\ & +r\sum _{i}d{K}_i\end{array}$$

8. 総量は固定なので${\sum }_{i}d{L}_i=0$、${\sum }_{i}d{K}_i=0$で、再配分の項が消える。

   $$dY=\sum _i{p}_i{f}_{i}d{A}_i$$

どの作業でも最後の1人の稼ぎは賃金に等しい。だから1人を別の作業へ動かしても、増える分と減る分が打ち消し合う。定理の要はここにある。

9. $f_i=y_i/A_i$を入れ、両辺を$Y$で割る。${\chi }_i=p_i{y}_i/Y$は、作業$i$がGDPに占める割合である。

   $$\begin{array}{rl}& d\ln Y\\ & =\sum _i\frac{p_i{y}_i}{Y}d\ln A_i\\ & =\sum _i{\chi }_{i}d\ln A_i\end{array}$$

10. 労働と資本が一定のままの$Y$の伸びがTFPの伸びである。作業のコスト削減率${\pi }_i$は、生産性の上昇率$d\ln A_i$と読む。

    $$d\ln \mathrm{TFP}=\sum _i{\chi }_i{\pi }_i$$

11. AIの効く作業の集合を$S$とする。$s_{\mathrm{AI}}$はその割合、$\bar{\pi }$は割合で重みをつけた平均の削減率である。

    $$\begin{array}{rl}d\ln \mathrm{TFP}& =\sum _{i\in S}{\chi }_i{\pi }_i\\ & =s_{\mathrm{AI}}\times \bar{\pi }\end{array}$$

手順11が論文の式（14）にあたる。

作業や産業が中間財を売り買いしていても、同じ筋で式は通り、重みだけが変わる。${\chi }_i$の分子が総生産額になり、分母はGDPのままなので、和が1を超える。小麦粉の産業がパン屋に40を売り、パン屋が消費者に100を売る経済なら、GDPは100、重みは0.4と1で、和は1.4である。小麦粉の生産性が1%上がれば、GDPは0.4%上がる。

この等式は、どこまで信じてよいのか。${\chi }_i$が動かないとみなせる、小さな変化の範囲までである。つまり定理は、テイラー展開の1次の項にあたる。

バカイーとファルヒは、2017年のワーキングペーパー（2019年に学術誌へ掲載）でこの先を計算した。小売のウォルマートと電力は、どちらも売上が米国GDPの約4%で、定理の上では同じ重みになる。それでも電力が大きく止まれば、損失はウォルマートよりずっと大きいはずだ。2次の項まで入れると、1970年代の石油危機が世界の産出に与えた影響の見積もりは、0.23%から0.61%へほぼ3倍に増える。

作業どうしの代替の弾力性を$\sigma$とするCES型の生産関数なら、この曲がり方を式で書ける。割合$\chi$の作業だけ生産性が$A$倍になるとき、もとの$Y$を1とすれば、

である。ハルテンの定理の$\chi \ln A$は、$A=1$でのこの曲線の接線になる。

当サイトの模型で$\chi$を20%に固定して描くと、破線が1次の近似、太い線がCES型の曲線になる。$\sigma =1$（コブ＝ダグラス型）では2本が重なる。$\sigma <1$だと曲線は上限$-\ln (1-\chi )/(1-\sigma )$で頭打ちになる。速くならない作業がボトルネックになるからで、論文も$\sigma$を0.5前後に置く。フィリップ・アギオン、ベンジャミン・ジョーンズ、チャールズ・ジョーンズは2017年、成長を縛るのは「得意なことではなく、欠かせないのに改善が難しいことかもしれない」と書いた。

とはいえ、アセモグルの$\chi =0.046$で$\ln A=0.144$とおいて当サイトで計算すると、$\sigma =0.5$でも0.64%で、1次の式の0.66%とほとんど変わらない。ずれが効いてくるのは、作業の割合と削減率がもっと大きいと読むときである。