力のモーメントと剛体のつり合い

この計算の道すじ。 力のモーメントの数え方を確かめ（手順1、2）、偶力で条件が2つ要る理由を見る（手順3、4）。力の和が0ならどの点のまわりで数えてもよいことを式で確かめ（手順5〜7）、壁に立てかけたはしごを1行ずつ解く（手順8〜12）。

記号を読む

剛体は、力を受けても形が変わらないとみなす物体である。棒や板、はしごのように大きさがあり、動くだけでなく回ることもある。

$M$は力のモーメントで、物体を回そうとする強さを表す。$F$は力の大きさ（N）、$l$はうでの長さ（m）で、$M$の単位はN·mになる。$\sum$は「全部足す」という印で、$\sum \vec{F}=\vec{0}$は、はたらく力を向きまで入れて全部足すと0、$\sum M=0$は、力のモーメントを全部足すと0という意味だ。$\vec{F}$の矢印は、力が向きをもつ量であることを表す。

1本の棒と支点だけなら、この式はてこの原理そのものになる。てこでは支点が棒を支えてくれるので、ふつうは回らない条件だけを考えれば済んだ。

うでの長さは作用線まで

うでの長さは、軸から力のかかる点までの長さではない。力の矢印をまっすぐ延ばした線を作用線といい、軸から作用線へ下ろした垂線の長さが$l$である。

長さ1.0 mの棒の右端に、10 Nの力を斜めにかける。棒に垂直な8 Nと棒に沿う6 Nに分けられる向き、つまり辺の比が3 : 4 : 5の直角三角形になる向きだ。このとき、軸から作用線までの距離は0.8 mになる。

1. 作用線までの距離をうでの長さにとる

   $$M=10\times 0.8=8\text{N}\cdot \text{m}$$

2. 棒に垂直な分の8 Nに、棒の長さ1.0 mを掛けても同じになる

   $$M=8\times 1.0=8\text{N}\cdot \text{m}$$

棒に沿う6 Nは、作用線が軸Oを通るので棒を回さない。どちらで数えても答えは同じで、問題に合わせて楽なほうを選べばよい。回る向きは反時計回りを＋、時計回りを−とし、この8 N·mは反時計回りなので＋である。

条件が2つ要るわけ

長さ1.0 mの棒に、左端から0.2 mの所で上向きに10 N、0.8 mの所で下向きに10 Nをかける。ハンドルの両手と同じ偶力だ。

3. 上向きを＋として、力を足す

   $$10+(-10)=0$$

4. 左端のまわりのモーメントを足す

   $$10\times 0.2-10\times 0.8=-6\text{N}\cdot \text{m}$$

力の和が0なので、棒全体はどちらへも動き出さない。ところがモーメントの和は−6 N·mで、棒は時計回りに回り出す。反対に、作用線が棒の真ん中、つまり重心を通る力だけなら、モーメントは0でも、物体は押された向きへ動き出す。

だから止まったままでいるには、2つの条件が両方要る。力の和が0なら動き出さず、モーメントの和が0なら回り出さない。

氷の上に置いた軽い棒を、上から見た図である。両端を図の上向きに10 Nずつ引き、3本目の力$F$を下向きにかける。$F=20$ Nを真ん中にかけたときだけ、棒は止まったままになる。20 Nのまま位置をずらすと回り出し、真ん中のまま大きさを変えると、回らずに上か下へ動き出す。

どの点のまわりで数えてもよい

では、モーメントの和は、どこを軸にして数えればよいのか。力の和が0なら、どこでもよい。棒に垂直な力$F_1,F_2,\dots$が、左端から$x_1,x_2,\dots$の位置にかかるとし、軸を左端から$a$の位置にとって確かめる。上向きの力を＋とする。

5. 軸から力までの距離は$x-a$なので、モーメントの和を書く

   $$M_a=(x_1-a)F_1+(x_2-a)F_2+\cdots$$

6. かっこを外し、$a$を含む項を後ろに集める

   $$M_a=(x_1{F}_1+x_2{F}_2+\cdots )-a(F_1+F_2+\cdots )$$

7. 力の和が0なら後ろの項が消え、$a$によらない値になる

   $$M_a=x_1{F}_1+x_2{F}_2+\cdots$$

偶力の棒では、軸が左端でも真ん中でも右端でも、和は−6 N·mになる。力の和が0でない1本だけの力では、軸によって値が変わる。つり合っている物体なら和はどこでも0なので、まだ分からない力が通る点を軸に選び、その力を式から消してよい。

壁に立てかけたはしご

長さ5.0 m、質量20 kgの一様なはしごを、なめらかな鉛直の壁に立てかける。下端は壁から3.0 m離れ、上端は床から4.0 mの高さにある。重力加速度を9.8 m/s²とすると重力は$20\times 9.8=196$ Nで、一様なはしごなので、真ん中の1点にかかるとしてよい（下の「重力は重心に1本」）。

はしごにはたらく力は4つある。真ん中の重力196 N、床が下端を押し上げる垂直抗力$N$、下端が滑らないように床が壁の向きに出す静止摩擦力$f$、壁が上端を押し返す力$R$だ。壁はなめらかなので、$R$は水平である。

下端を軸にとると、$R$の作用線は水平なので、うでの長さは上端の高さ4.0 mになる。重力の作用線は鉛直なので、うでの長さは下端から真ん中までの水平な距離$3.0÷2=1.5$ mだ。$R$は時計回り、重力は反時計回りに回そうとする。

8. 上下の力のつり合いから、垂直抗力が決まる

   $$N=196\text{N}$$

9. 左右の力のつり合いを書く

   $$f=R$$

10. 下端のまわりのモーメントのつり合いを書く。$N$と$f$は軸を通るので出てこない

    $$R\times 4.0=196\times 1.5$$

11. 両辺を4.0で割る

    $$R=294÷4.0=73.5\text{N}$$

12. 手順9に入れる

    $$f=73.5\text{N}$$

上端を軸にとると、今度は$R$が式から消える。$N$のうでは下端までの水平な距離3.0 m、$f$のうでは高さの4.0 m、重力のうでは1.5 mで、$N$だけが反時計回りに回そうとする。$196\times 3.0-73.5\times 4.0-196\times 1.5=588-294-294=0$と、和はやはり0になる。

はしごが滑らないためには、静止摩擦力が上限の$\mu N$を超えなければよい。$\mu$は静止摩擦係数で、床とはしごの組み合わせで決まる。$73.5\leqq \mu \times 196$から$\mu \geqq 0.375$で、これより滑りやすい床では、はしごは滑り出す。

重力は重心に1本

はしごの重力は、本当は全体に散らばってかかっている。5.0 mのはしごを1.0 mずつ5つに分けると、1つあたり$196÷5=39.2$ Nで、下端から各部分の真ん中までの横の距離は0.3、0.9、1.5、2.1、2.7 mになる。

$$\begin{array}{rl}& 39.2\times (0.3+0.9+1.5+2.1+2.7)\\ & =39.2\times 7.5=294\end{array}$$

重さがかかる位置を平均して1点にまとめる式は、重心の位置にある。

これは、196 Nが真ん中の1点に1本かかるとした$196\times 1.5=294$ N·mと同じだ。重力のモーメントを、このように1本の力で置きかえられる点を重心という。三角形の板の重心がどこにあるかは、三角形の重心で読める。