蔵本モデル

道すじ。 式の文字を読み、点が2つのときに数を入れて引き合いを計算する（手順1〜5）。$N$個の引き合いを平均の矢印1本に置き換え（手順6〜10）、しきい値$K_c$を図でつかんでから式で導く（手順11〜21）。

式の文字を読む

振り子の揺れや心臓の拍動、ロトカ・ヴォルテラ方程式が表す捕食者と被食者の増減。同じことを繰り返すものは、円周上を回る点で表せる。点は1周期で円を1周し、いまの位置を角度$\theta$で表す。$i$番目の点の位相が${\theta }_i$だ。

左辺の$\frac{d{\theta }_i}{dt}$は、位相${\theta }_i$が1秒あたりにどれだけ変わるか、つまり点の回る速さを表す。右辺の${\omega }_i$（オメガ）は点が自分だけで回るときの速さで、固有振動数である。値は点ごとに少しずつ違う。

$K$は結びつきの強さ、$N$は点の数である。角度は度で測り、速さと$K$は度/秒（1秒に何度回るか）で表す。教科書でふつう使う角度の単位は、ラジアンだ。それでも式の形は同じで、速さと$K$の数が$180/\pi$倍（約57倍）になるにすぎない。

残る$\sin ({\theta }_j-{\theta }_i)$が、相手$j$に引かれる向きと強さを決める。$\sin$（サイン）は角度を入れると−1から1までの数を返す関数で、30°なら0.5、90°なら1、−30°なら−0.5だ。相手が前にいて差が正なら正の数、後ろにいれば負の数が出る。

差が0°なら0で、同じ位置にいる相手には引かれない。差が90°のとき引き合いは最も強く、真向かいの180°では再び0になる。

2つで試す

数を入れるのは、点が2つ（$N=2$）の場合からだ。点1は自分だけなら90度/秒、点2は110度/秒で回り、$K=40$度/秒とする。ある瞬間、点1は0°、点2は30°にいた。

1. 点1の式に入れる。$\frac{K}{N}=\frac{40}{2}=20$で、和は自分（$j=1$）と点2の2つ。自分との差は0なので$\sin 0^{\circ }=0$になる

   $$\begin{array}{rl}\frac{d{\theta }_1}{dt}& =90\\ & +20(\sin 0^{\circ }+\sin 30^{\circ })\end{array}$$

2. $\sin 30^{\circ }=0.5$を入れる。前にいる点2に引かれて、点1は速まる

   $$\frac{d{\theta }_1}{dt}=90+20\times 0.5=100$$

3. 点2の式に入れる。点1は30°後ろにいる

   $$\begin{array}{rl}\frac{d{\theta }_2}{dt}& =110\\ & +20(\sin (-30^{\circ })+\sin 0^{\circ })\end{array}$$

4. $\sin (-30^{\circ })=-0.5$を入れる。後ろの点1に引き戻されて、点2は遅くなる

   $$\frac{d{\theta }_2}{dt}=110-10=100$$

2つの速さは、どちらも100度/秒になった。だから差の30°は変わらず、2つは並んだまま回り続ける。これが、引き込みと呼ばれる現象である。

$K$を20より下げると、点2は点1を追い越し続ける。$K=15$なら、差が1周するのにかかる時間は約27秒だ。境目の20は、2つの点が自分だけで回る速さの差にあたる。

なぜ20なのか。差の動きを式にすると分かる。

5. 差を$\phi ={\theta }_2-{\theta }_1$（ファイ）とし、一般の$K$で点2の速さから点1の速さを引く。$\sin (-\phi )=-\sin \phi$なので、引き合いの項は2つ合わさる

   $$\frac{d\phi }{dt}=20-K\sin \phi$$

差が止まるのは、手順5の右辺が0になるときだ。$\sin$は1を超えないので、止まれるのは$K$が速さの差20度/秒以上のときに限られる。

水平線とは150°でも交わる。ただ、そこから少しずれると差は離れていくので、2つが落ち着くのは30°の側だ。$K$を上げるほど2つは近い角度で並び、$K=80$なら約14.5°になる。

N個の平均を矢印に

点が増えても、することは変わらない。${\sum }_{j=1}^N$（シグマ）は「$j$を1から$N$まで変えながら足す」という記号で、点$i$は全員から引かれる。それを$N$で割るので、$\frac{K}{N}\sum$は「1人あたりの引き合いの平均に$K$を掛けたもの」になる。

4つの点が0°、30°、60°、90°にあり、点1が0°にいるとする。点1から見た差は0°、30°、60°、90°で、引き合いの平均は次のとおりである。

点1が0°にいるとき、$\sin ({\theta }_j-0)$は円周上の点$j$の高さそのものになる。だから引き合いの平均は、4点の高さの平均だ。

高さと一緒に横の位置も平均すると、円の中心から1本の矢印が伸びる。矢印の長さ$r$がそろい具合、向き$\psi$（プサイ）が平均の位相である。オイラーの公式の$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$は角$\theta$の点を1つの数で表す書き方で、これを使うと矢印は1行で書ける。

ただ、複素数を使わなくても中身は同じだ。矢印の先は、横が$\cos {\theta }_j$の平均、縦が$\sin {\theta }_j$の平均である。

全員がそろうと矢印は円まで届いて$r=1$になり、散らばると打ち消し合って0に近づく。0°、30°、60°、90°の4点では横も縦も0.5915で、$r=\sqrt{0.5915^2+0.5915^2}\approx 0.84$、向きは45°だ。

矢印1本に書き直す

点1の引き合いが矢印の高さと一致したのは、偶然ではない。実は、どの点でも$N$本の引き合いを平均の矢印1本に置き換えられる。使うのは三角関数の加法定理だけである。

6. 加法定理で、差の正弦を開く

   $$\begin{array}{rl}& \sin ({\theta }_j-{\theta }_i)\\ & =\sin {\theta }_j\cos {\theta }_i-\cos {\theta }_j\sin {\theta }_i\end{array}$$

7. $j$について足して$N$で割る。$\cos {\theta }_i$と$\sin {\theta }_i$は$j$によらないので、和の外に出せる

   $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{N}\sum _j\sin ({\theta }_j-{\theta }_i)\\ & =\left(\frac{1}{N}\sum _j\sin {\theta }_j\right)\cos {\theta }_i\\ & -\left(\frac{1}{N}\sum _j\cos {\theta }_j\right)\sin {\theta }_i\end{array}$$

8. かっこの中に、矢印の縦$r\sin \psi$と横$r\cos \psi$を入れる

   $$\begin{array}{rl}& =r\sin \psi \cos {\theta }_i\\ & -r\cos \psi \sin {\theta }_i\end{array}$$

9. 加法定理を逆向きに使って、1つにまとめる

   $$=r\sin (\psi -{\theta }_i)$$

10. $K$を掛けて、元の式に戻す

    $$\frac{d{\theta }_i}{dt}={\omega }_i+Kr\sin (\psi -{\theta }_i)$$

つまり点は、仲間1人ずつではなく、平均の矢印1本に強さ$Kr$で引かれている。矢印より後ろにいれば速まり、前にいれば引き戻される。点が2つのときと同じ形だ。

図で納得する

しきい値はどこから来るのか。鍵は、点を引く矢印の長さ$r$が、引かれる点たち自身で決まることだ。たとえば何人かがそろうと矢印が伸び、全員を引く強さ$Kr$が増す。強まった引きがさらに仲間を集め、矢印はもっと伸びる。この輪が回り始めるかどうかを決めるのが、$K$である。

見るのは、群れの平均速度で一緒に回る立場からだ。すると点が2つのときと同じく、平均からの速さのずれが$Kr$以内の点は止まり、群れと一緒に回る。矢印の長さを仮に$r$と置けば、止まった点たちが作る矢印の長さ$F(r)$が計算できる。つじつまが合うのは、$F(r)=r$のときだけである。

曲線$F(r)$と破線の交わりが、実際に落ち着くそろい具合だ。階段は、仮の$r$から出した$F(r)$を次の仮の$r$にする計算を0.05から繰り返した跡で、交わりへ吸い寄せられていく。曲線は、速さのずれがあとで出る幅30度/秒の山に従うときのものだ。

原点の近くの$F(r)$は、傾きが$K$に比例するほぼ直線だ。傾きが1を超えたとたん、0のほかにもう1つの交わりが現れる。傾きがちょうど1になる強さが蔵本の求めたしきい値$K_c$で、傾きは$K/K_c$と書ける。

$g(\omega )$は、速さのずれ$\omega$がどれだけの割合で現れるかを表すグラフで、$g(0)$はその山の高さだ。ばらつきが小さく山が高いほど、$K_c$は小さくて済む。高さが半分になる所の幅を$2\gamma$（ガンマ）とするローレンツ分布では$g(0)=1/(\pi \gamma )$なので、$K_c=2\gamma$である。

式で確かめる

微分と積分を使う、大学の内容である。$r$は時間によらず一定、角度は矢印の向き$\psi =0$から測り、群れの平均速度で回りながら見る。蔵本が1975年に置いた形と同じだ。

11. 手順10は、点ごとに次の形になる。$\omega$は平均からの速さのずれである

    $$\frac{d\theta }{dt}=\omega -Kr\sin \theta$$

12. $|\omega |\le Kr$なら、右辺が0になる角${\theta }^{\ast }$が−90°から90°の側にある。点はそこで止まり、群れと一緒に回る

    $$\sin {\theta }^{\ast }=\frac{\omega }{Kr}$$

13. 止まった点の矢印を足す。矢印は0°を向くので$r$は横の位置$\cos \theta$の平均で、回り続ける点の分はばらつきの左右対称さで打ち消し合う。$\int$（インテグラル）は細かく分けて足し合わせる記号で、$g(\omega )d\omega$は速さのずれが$\omega$のあたりにある点の割合である

    $$r={\int }_{-Kr}^{Kr}\cos {\theta }^{\ast }(\omega )g(\omega )d\omega$$

14. $\omega =Kr\sin \theta$と置き換える。$d\omega =Kr\cos \theta d\theta$で、$\omega$が$-Kr$から$Kr$まで動くと$\theta$は−90°から90°まで動く。角度はここだけラジアンで測り、90°は$\pi /2$である

    $$\begin{array}{rl}r=Kr{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}& {\cos }^2\theta \\ & \times g(Kr\sin \theta )d\theta \end{array}$$

15. $r>0$として、両辺を$r$で割る

    $$\begin{array}{rl}1=K{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}& {\cos }^2\theta \\ & \times g(Kr\sin \theta )d\theta \end{array}$$

16. $r$を0に近づけると$g(Kr\sin \theta )\to g(0)$で、${\cos }^2\theta$の積分は$\pi /2$になる。このときの$K$が$K_c$である

    $$1=K_{c}g(0)\frac{\pi }{2}$$

17. ローレンツ分布$g(\omega )=\frac{\gamma }{\pi ({\gamma }^2+{\omega }^2)}$を手順15に入れる。$a=Kr$と書く

    $$1=\frac{K\gamma }{\pi }{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{{\cos }^2\theta d\theta }{{\gamma }^2+a^2{\sin }^2\theta }$$

18. この積分は$\pi (\sqrt{{\gamma }^2+a^2}-\gamma )/(a^2\gamma )$になる。前の$\frac{K\gamma }{\pi }$を掛け、$a=Kr$に戻す

    $$1=\frac{\sqrt{{\gamma }^2+K^2{r}^2}-\gamma }{K{r}^2}$$

19. 両辺に$K{r}^2$を掛け、$\gamma$を左辺へ移す

    $$K{r}^2+\gamma =\sqrt{{\gamma }^2+K^2{r}^2}$$

20. 両辺を2乗すると、両辺の${\gamma }^2$が消えて$K^2{r}^4+2\gamma K{r}^2=K^2{r}^2$になる。両辺を$K^2{r}^2$で割る

    $$r^2+\frac{2\gamma }{K}=1$$

21. $r$について解く。$2\gamma =K_c$だった

    $$r=\sqrt{1-\frac{2\gamma }{K}}=\sqrt{1-\frac{K_c}{K}}$$

手順16と21は、どちらも蔵本が1975年に導いた結果である。ただし、点の数が限りなく多く、時間がたって落ち着いた状態についての話だ。