ハミルトンの原理

1つの座標$q$で位置が決まる系を考える。始めの時刻$t_1$と終わりの時刻$t_2$の位置を決めると、そのあいだを結ぶ道$q(t)$ごとに、作用の値が1つ決まる。

1. 道ごとに作用を決める

   $$S[q]={\int }_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt$$

2. 両端を動かさずに、道を少しずらす

   $$q(t)\to q(t)+\epsilon \eta (t),\eta (t_1)=\eta (t_2)=0$$

3. $L$を$\epsilon$の1次まで展開する

   $$\begin{array}{rl}L(q+\epsilon \eta ,\dot{q}+\epsilon \dot{\eta },t)& =L(q,\dot{q},t)\\ & +\epsilon \left(\frac{\partial L}{\partial q}\eta +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{\eta }\right)\end{array}$$

4. 作用の1次の変化を取り出す

   $$\delta S=\epsilon {\int }_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}\eta +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{\eta }\right)dt$$

5. 第2項を部分積分する

   $$\begin{array}{rl}{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{\eta }dt& ={\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\eta \right]}_{t_1}^{t_2}\\ & -{\int }_{t_1}^{t_2}\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\eta dt\end{array}$$

6. 両端では$\eta =0$なので、積分の外の項が消える

   $${\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\eta \right]}_{t_1}^{t_2}=0$$

7. $\eta$でくくる

   $$\delta S=\epsilon {\int }_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\eta dt$$

8. どんな$\eta$でも$\delta S=0$となるには、かっこの中が0

   $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$$

9. 自由落下の$L=\frac{1}{2}m{\dot{z}}^2-mgz$を入れる

   $$m\ddot{z}=-mg$$

手順8が言えるのは、かっこの中がある時刻のまわりで正なら、そのまわりだけで正になる小さな山の形の$\eta$を選ぶと積分が正になり、$\delta S=0$に反するからだ。負のときも同じなので、かっこの中はどの時刻でも0である。端を止めたことが効いているのは手順6で、端も動かすなら積分の外の項が残る。ハミルトンの1834年の論文では、そこから終わりと始めの運動量が$S$の偏微分として出てくる。

手順8はラグランジュの運動方程式そのもので、手順9はニュートンの運動方程式の自由落下の形だ。ニュートンの式から座標を替えて導ける同じ式に、作用という1つの数を停留させる条件からもたどり着く。

では、本当の道で作用は最小なのか。$L$が2次式なら、ずれの2次の項がそのまま残るので、符号を調べられる。ばね定数$k$のばねにつないだ質量$m$の物体で確かめる。

10. 本当の道では1次の項が消え、2次の項だけが残る

    $$S[q+\epsilon \eta ]=S[q]+\frac{{\epsilon }^2}{2}{\int }_{t_1}^{t_2}\left(m{\dot{\eta }}^2-k{\eta }^2\right)dt$$

11. $T=t_2-t_1$とし、1つ山の$\eta =\sin \frac{\pi (t-t_1)}{T}$を入れる

    $${\int }_{t_1}^{t_2}\left(m{\dot{\eta }}^2-k{\eta }^2\right)dt=\frac{T}{2}\left(\frac{m{\pi }^2}{T^2}-k\right)$$

12. $\omega =\sqrt{k/m}$とおき、2次の項が負になる条件を出す

    $$T>\frac{\pi }{\omega }$$

$\frac{\pi }{\omega }$は振動の半周期だ。つまり、時間の幅が半周期より長いと、本当の道は作用を最小にしない。それでも1次の変化は0のままなので、本当の道が停留点であることは変わらない。ちょうど半周期のときは、0から出て0に戻る本当の道が振幅を変えて無数にあり、どれも作用は0になる。自由落下は$k=0$にあたり、手順10の積分が$m{\dot{\eta }}^2$だけになってどんなずらし方でも正なので、本当の道で作用は最小になる。