原子量

相対質量は、¹²C原子1個を12としたときの原子1個の質量である。質量数との違いは質量数の表で確認できる。存在比は同位体の個数の割合で、質量の割合ではない。

天然のガリウムは⁶⁹Gaが60.1%、⁷¹Gaが39.9%で、相対質量は68.926と70.925である。原子を1,000個取り出したと考える。

1. 存在比から同位体ごとの個数を出す

   $$601\text{個},399\text{個}$$

2. 1,000個の相対質量を全部足す

   $$68.926\times 601+70.925\times 399\approx 69,723.6$$

3. 1個あたりにするため1,000で割る

   $$\frac{69,723.6}{1,000}\approx 69.72$$

4. 手順3の割り算を項ごとに分ける

   $$68.926\times 0.601+70.925\times 0.399\approx 69.72$$

5. 相対質量を$m$、存在比を$x$とおいて一般の形にする

   $$A_{\mathrm{r}}=m_1{x}_1+m_2{x}_2+\cdots$$

個数の割合という点を見落とすと、答えがずれる。⁶Liと⁷Liを質量で半分ずつ混ぜると、軽い⁶Liの個数のほうが多くなり、平均は6.48になる。相対質量6.015と7.016を単純に平均した6.52にはならない。

すべての同位体を足せば全体になるので、存在比の和は1である。この性質で、未知数を1つ減らせる。

6. 存在比の和を1とおく

   $$x_1+x_2=1$$

7. $x_2=1-x_1$を手順5に代入する

   $$A_{\mathrm{r}}=m_1{x}_1+m_2(1-x_1)$$

8. かっこを外して$x_1$でまとめる

   $$A_{\mathrm{r}}=m_2-(m_2-m_1)x_1$$

逆に原子量が分かっていれば、存在比を取り戻せる。手順5と手順6は、$x_1$と$x_2$についての2元連立方程式である。

9. 手順8を$x_1$について解く

   $$x_1=\frac{m_2-A_{\mathrm{r}}}{m_2-m_1}$$

10. ガリウムの原子量69.723を代入する

    $$x_1=\frac{70.925-69.723}{70.925-68.926}\approx 0.601$$

手順9の分子は、原子量から反対側の同位体までの距離を表す。だから、原子量に近い同位体ほど多い。