ヘロンの公式

この証明の道すじ。 まず3・4・5の三角形で、$s$と$s$から引いた3つの数が何を表すかをつかむ（図で納得する）。次に、頂点から底辺へ垂線を下ろして、高さの2乗を三平方の定理で2通りに書く（手順1〜6）。2乗の差の因数分解で高さを辺だけで表し（手順7〜12）、底辺 × 高さ ÷ 2に入れる（手順13・14）。

式の文字を読む

$a$、$b$、$c$は3辺の長さ。$s$は3辺を足して2で割った数で、周の半分にあたる。$S$は面積である。辺をcmで測れば$s$もcm、$S$はcm²になる。

公式は「$s$と、$s$から各辺を引いた3つの数、合わせて4つを掛けて平方根をとると面積になる」と読める。√（ルート）は2乗するとその数になる正の数で、$\sqrt{36}=6$である。

図で納得する

直角をはさむ辺が3と4、斜辺が5の直角三角形で計算してみよう。$a=3$、$b=4$、$c=5$なので、$s=\frac{3+4+5}{2}=6$。$s$から各辺を引くと、3、2、1が残る。

$$6\times 3\times 2\times 1=36,S=\sqrt{36}=6$$

ふつうの三角形では高さを測るのが手間だが、直角三角形なら、直角をはさむ3と4をそのまま底辺と高さにとれる。$3\times 4÷2=6$。2つの答えがそろった。

$s$から引いた3つの数は、三角形なら必ず正になる。たとえば$s-c$は、通分すると次の形だ。

$$s-c=\frac{a+b+c}{2}-c=\frac{a+b-c}{2}$$

これが正なのは、$a+b>c$のとき、つまり2辺の和が残りの辺より長いときだけである。3つとも正、という条件は三角形の成立条件そのもの。2辺の和がちょうど残りの辺に等しいと、どうなるのか。

$a=3$、$b=4$のまま$c$を7まで伸ばすと、$s-c$が0になり、掛け算の答えも面積も0になる。頂点Cが辺ABの上に乗り、三角形がつぶれたのだ。$c$を1まで縮めたときは$s-b$が0になって、やはりつぶれる。

式で確かめる

一般の三角形でも、高さを2通りに書けば公式にたどり着く。辺BCを底辺にとり、向かいの頂点Aから辺BCへ垂線を下ろして、交わる点をHとする。BHの長さを$x$、高さAHを$h$とすると、HCは$a-x$である。数の例は、$a=14$、$b=15$、$c=13$の三角形。

1. 直角三角形ABHで三平方の定理を使う

   $$h^2=c^2-x^2$$

2. 直角三角形ACHでも三平方の定理を使う

   $$h^2=b^2-(a-x{)}^2$$

3. 同じ$h^2$なので、右辺どうしを等号で結ぶ

   $$c^2-x^2=b^2-(a-x{)}^2$$

4. 右辺の$(a-x{)}^2$を展開する

   $$c^2-x^2=b^2-a^2+2ax-x^2$$

5. 両辺に$x^2$を足す

   $$c^2=b^2-a^2+2ax$$

6. $x$について解く

   $$x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$$

手順4では$(a-x{)}^2=a^2-2ax+x^2$の前にマイナスが付くので、各項の符号を変えた。手順6は手順5の両辺に$a^2-b^2$を足して左右を入れかえ、両辺を$2a$で割った。

足Hを左右に動かすと、2つの式から出る高さはふつう食い違う。13・14・15で両方が12になり、2つの点が重なるのは、$x=5$のときだけだ。

13・14・15なら$x=\frac{196+169-225}{28}=\frac{140}{28}=5$。手順1から$h^2=169-25=144$なので、高さは12だ。三角形は、5・12・13と9・12・15の2つの直角三角形に分かれる。

面積$S=\frac{1}{2}ah$を2乗した$S^2=\frac{1}{4}{a}^2{h}^2$に、手順1と手順6を入れる。手順1から$a^2{h}^2=a^2{c}^2-(ax{)}^2$、手順6から$ax=\frac{a^2+c^2-b^2}{2}$なので、次の式が出る。

$$S^2=\frac{1}{4}\left\{a^2{c}^2-{\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)}^2\right\}$$

秦九韶の術と、まったく同じ形になった。

高さの2乗をほどく

秦九韶の式の引き算を、掛け算にほどいていく。使うのは、中学で習う2乗の差の因数分解$p^2-q^2=(p+q)(p-q)$だけである。

7. 手順1の右辺を、2乗の差として因数分解する

   $$h^2=(c+x)(c-x)$$

13・14・15では、$169-25=144$が$(13+5)\times (13-5)=18\times 8$と書ける。1辺13の正方形から1辺5の正方形を取った残りを組みかえると、縦8、横18の長方形にぴったり収まるのだ。

8. 手順6を$c+x$に入れて通分する

   $$\begin{array}{rl}c+x& =\frac{a^2+2ac+c^2-b^2}{2a}\\ & =\frac{(a+c{)}^2-b^2}{2a}\end{array}$$

9. 手順6を$c-x$に入れて通分する

   $$\begin{array}{rl}c-x& =\frac{b^2-a^2+2ac-c^2}{2a}\\ & =\frac{b^2-(a-c{)}^2}{2a}\end{array}$$

10. 2つの分子を、2乗の差として因数分解する

    $$\begin{array}{rl}& (a+c{)}^2-b^2\\ & =(a+c+b)(a+c-b)\\ & b^2-(a-c{)}^2\\ & =(b+a-c)(b-a+c)\end{array}$$

手順8の分子は、$a^2+2ac+c^2$を$(a+c{)}^2$にまとめた。手順9は、$-a^2+2ac-c^2$を$-(a-c{)}^2$にまとめた。13・14・15では、手順8の分子が$27^2-15^2=504=42\times 12$、手順9の分子が$15^2-1^2=224=16\times 14$。

4つの数にそろえる

11. 手順7に手順8〜10を入れ、分母どうしを掛ける

    $$\begin{array}{rl}{h}^2=\frac{1}{4a^2}& (a+b+c)(-a+b+c)\\ \times & (a-b+c)(a+b-c)\end{array}$$

12. 4つの因数を$s$で書き直す

    $$h^2=\frac{16}{4a^2}s(s-a)(s-b)(s-c)$$

$a+b+c=2s$で、$-a+b+c$は$2s$から$2a$を引いた$2(s-a)$だ。残る2つも$2(s-b)$、$2(s-c)$で、4つの2を掛けた16が前に出る。

13・14・15では、4つの因数は42、14、12、16で、半分にした21、7、6、8が$s$、$s-a$、$s-b$、$s-c$である。7、6、8には、もう一つの顔がある。3辺に内側から接する円（内接円）へ、各頂点から引いた接線の長さだ。

接線の長さで辺を書くと、$b+c-a=(8+7)+(7+6)-(6+8)=14$。頂点Aからの接線の、ちょうど2本分になっている。$s-a$が正であることは、この接線が長さをもつことと同じなのである。

13. 面積$S=\frac{1}{2}ah$を2乗し、手順12を入れる

    $$\begin{array}{rl}{S}^2& =\frac{1}{4}{a}^2{h}^2\\ & =s(s-a)(s-b)(s-c)\end{array}$$

14. 両辺の正の平方根をとる

    $$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

手順13では、$\frac{1}{4}{a}^2\times \frac{16}{4a^2}=1$なので、底辺の$a$が消えて4つの積だけが残る。13・14・15なら$21\times 7\times 6\times 8=7056$で、$S=84$。$\frac{1}{2}\times 14\times 12=84$と、ぴたりと一致した。

底辺に選んだ$a$は、最後に消えた。だから、どの辺を底辺にしても同じ式が出る。鈍角三角形なら、いちばん長い辺を底辺に選べばよい。鈍角ができるのはいちばん長い辺の向かいだけなので、底辺をはさむ2つの角は鋭角になり、足Hは辺BCからはみ出さない。