多項定理

この計算の道すじ。 展開の係数が文字の並べ方の数になることをつかみ、AABCの並べ方から公式を作る（手順1〜5）。$(a+b+c{)}^3$で検算し（手順6〜9）、二項定理を2回使う道でも同じ式に着くことを確かめる（手順10〜13）。

公式の$n$はかっこの個数で、$p$、$q$、$r$は$a$、$b$、$c$を選ぶ回数を表す。どのかっこからも1文字選ぶので、回数を足すと$n$になる。$n!$は「$n$の階乗」と読み、$n$から1までの整数を全部掛けた数だ。$4!=4\times 3\times 2\times 1=24$で、$1!=1$である。

係数は選び方の数

展開とは、どのかっこからも1文字ずつ選んで掛け、全部の選び方の積を足す計算である。$(a+b)(a+b)$なら$aa$、$ab$、$ba$、$bb$の4個で、$ab$と$ba$は同じ積なので$a^2+2ab+b^2$にまとまる。$ab$の係数2は、この積になる選び方が2通りあることを表している。

$(a+b+c{)}^4$で$a^{2}bc$になるのは、$a$を2回、$b$と$c$を1回ずつ選ぶときだ。1番目のかっこから順に選んだ文字を書くと、1つの選び方が4文字の並びになる。

つまり、$a^{2}bc$の係数は、$a$、$a$、$b$、$c$を1列に並べる並べ方の数に等しい。

AABCの並べ方を数える

$a$、$a$、$b$、$c$の並べ方を、見やすいように大文字のAABCで数える。同じ文字が混ざった並べ方は、いったん全部を別の文字とみる。2つのAに番号を付けて${\mathrm{A}}_1$、${\mathrm{A}}_2$とすれば、4文字はすべて違う文字になる。

左から順に置くと、1番目は4通り、2番目は残りの3通り、3番目は2通り、最後は1通りである。だから全部の並べ方は掛け算で出る。

1. 4文字を区別して1列に並べる

   $$4!=4\times 3\times 2\times 1=24$$

2. ${\mathrm{A}}_1$と${\mathrm{A}}_2$を入れ替える並べ方を数える

   $$2!=2\times 1=2$$

3. 同じ並びに見えるものが2通りずつあるので、2で割る

   $$\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12$$

BとCは1個ずつなので、入れ替えは$1!=1$通りで、割っても変わらない。この数え方が、数学Aの同じものを含む順列である。

文字のまま書く

$a$が$p$個、$b$が$q$個、$c$が$r$個あっても、手順は同じだ。

4. $n$文字を区別して1列に並べる

   $$n!\text{ 通り}$$

5. $a$どうし、$b$どうし、$c$どうしの入れ替えの分を順に割る

   $$\frac{n!}{p!q!r!}$$

$a$どうしの入れ替えが$p!$通り、$b$どうしが$q!$通り、$c$どうしが$r!$通りあり、掛け合わせた数だけ同じ並びに見える。だから全部をその数で割る。

$p=2$、$q=2$にすると、一覧は冒頭の30通りになる。$p=5$では$a$だけの1通りで、選ばなかった$b$と$c$の分は$0!=1$で割っている。1つも選ばない文字の並べ替えは「何もしない」の1通りだから、0!を1と決めると式が崩れない。

3乗で検算する

では、公式は本当に展開と合うのか。$n=3$なら手で展開できるので比べられる。$p$、$q$、$r$の組は、形で分けると3種類しかない。

6. $a^3$は$p=3$、$q=r=0$

   $$\frac{3!}{3!0!0!}=\frac{6}{6\times 1\times 1}=1$$

7. $a^{2}b$は$p=2$、$q=1$、$r=0$

   $$\frac{3!}{2!1!0!}=\frac{6}{2}=3$$

8. $abc$は$p=q=r=1$

   $$\frac{3!}{1!1!1!}=6$$

9. 文字を入れ替えた項も含めて全部足す

   $$\begin{array}{rl}& (a+b+c{)}^3\\ & =a^3+b^3+c^3\\ & +3a^{2}b+3a^{2}c+3a{b}^2\\ & +3b^{2}c+3a{c}^2+3b{c}^2\\ & +6abc\end{array}$$

$a=b=c=1$を入れると、左辺は$3^3=27$、右辺は係数1が3個、3が6個、6が1個なので$3+18+6=27$で合う。係数の和がかっこの中の項の数の$n$乗になるのは、全部の積の個数を数えたことになるからだ。

二項定理を2回使う

数学IIの二項定理だけでも、同じ式に着く。$(a+b+c{)}^n=\{(a+b)+c{\}}^n$とみて二項定理を1回使うと、$c^r$の係数が出る。残った$(a+b{)}^{n-r}$にもう1回使うと、$b^q$の係数が出る。${}_n{\mathrm{C}}_r$は、$n$個から$r$個を選ぶ組合せの数である。

10. $c$を選ぶかっこを$n$個から$r$個決める

    $${}_n{\mathrm{C}}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

11. 残りの$n-r$個から$b$を選ぶ$q$個を決める（残りの$p$個は$a$）

    $${}_{n-r}{\mathrm{C}}_q=\frac{(n-r)!}{q!p!}$$

12. 2段の選び方を掛ける

    $$\frac{n!}{r!(n-r)!}\times \frac{(n-r)!}{q!p!}$$

13. $(n-r)!$を約分する

    $$\frac{n!}{p!q!r!}$$

$r=0$なら$\frac{n!}{p!q!}$となり、二項定理の係数そのものだ。3つの項の和の2乗の$2ab$の2も、$\frac{2!}{1!1!0!}=2$と読める。項が4つに増えても、分母に階乗を1つ足すだけで済む。

授業で扱うかどうかは、教科書と学校によるとみられる。文部科学省の解説を見ると、数学IIの「いろいろな式」は組合せの考えで二項定理を導くところまでで、多項定理の語は出てこない。もう1つの材料である同じものを含む順列は、数学Aの「場合の数と確率」にある。