ヘリングス・ダウンズ曲線（パルサーの時計のずれの相関）

重力波の背景を、空のあらゆる向きから来る平面波の重ね合わせとみる。仮定は、どの向きからも同じ強さで来る（等方な）こと、2つの偏極＋と×が同じ強さで混ざること、パルサーが重力波の波長よりずっと遠くにあることの3つである。波の進む向きを単位ベクトル$\hat{\Omega }$、地球から見たパルサーの向きを$\hat{p}$とする。

1. パルスが届く間隔の変わる割合$z$は、パルスの通り道に沿って時空の伸び縮みを足し合わせると求まる。地球に届いたときの波$h^{\mathrm{E}}$と、パルサーを出たときの波$h^{\mathrm{P}}$の差になる

   $$z=\frac{{\hat{p}}^i{\hat{p}}^j(h_{ij}^{\mathrm{E}}-h_{ij}^{\mathrm{P}})}{2(1+\hat{\Omega }\cdot \hat{p})}$$

2. 分母は、地球へ向かうパルスから見て、波の位相が進む速さの比である。パルスの位置を$\mathbf{x}(t)$とすると$d\mathbf{x}/dt=-c\hat{p}$なので

   $$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}(t-\frac{\hat{\Omega }\cdot \mathbf{x}}{c})\\ & =1+\hat{\Omega }\cdot \hat{p}\end{array}$$

3. 波が$z$軸の向きに進むとし、パルサーの向きを極角$\theta$と方位角$\phi$で表す。＋の偏極は$x$方向を伸ばして$y$方向を縮め、×はそれを45°回したものなので

   $$\begin{array}{rl}{\hat{p}}^i{\hat{p}}^j{e}_{ij}^{+}& ={\sin }^2\theta \cos 2\phi \\ {\hat{p}}^i{\hat{p}}^j{e}_{ij}^{\times }& ={\sin }^2\theta \sin 2\phi \end{array}$$

4. ${\sin }^2\theta =(1-\cos \theta )(1+\cos \theta )$で、分母の$1+\hat{\Omega }\cdot \hat{p}=1+\cos \theta$が約分できる。1本の波の＋と×に応える係数は

   $$\begin{array}{rl}{F}^{+}& =\frac{1}{2}(1-\cos \theta )\\ & \times \cos 2\phi \\ F^{\times }& =\frac{1}{2}(1-\cos \theta )\\ & \times \sin 2\phi \end{array}$$

$2\phi$は、重力波が四重極の形をしていることを表す。パルサーの向きを、波の進む軸のまわりに90°回すと応答の符号が逆になり、180°回すと元に戻る。

5. 別々の2つのパルサー$a$, $b$では、パルサーの項は数千光年離れた場所の、数千年前の波で、互いに関係が無い。相関を作るのは地球の項だけで、＋と×が同じ強さで混ざるなら、1本の波からの寄与は

   $$F_a^{+}{F}_b^{+}+F_a^{\times }{F}_b^{\times }$$

6. 等方なら、この積をすべての向き$\hat{\Omega }$について平均すればよい。比例定数を慣習どおりに選んで

   $$\begin{array}{rl}\Gamma (\xi )& =\frac{3}{8\pi }\oint d\Omega \\ & \times \sum _{A=+,\times }{F}_a^A{F}_b^A\end{array}$$

パルサーの組ごとに向きは違うが、空全体をどう回しても、この積分は変わらない。だから結果は、2つの向きの内積${\hat{p}}_a\cdot {\hat{p}}_b=\cos \xi$だけで決まる。つまり、角度だけの関数になるのは、等方という仮定のためである。定数$3/(8\pi )$は、向きが同じ別々の2つのパルサーで$\Gamma =1/2$になるように選んである（ジェネットとロマーノは「見た目のための選択」と書く）。同じパルサーどうしでは、地球の項とパルサーの項が同じだけ効くので1になる。NANOGravの式に足してある$\frac{1}{2}{\delta }_{ab}$が、この分である。

7. $\xi =0$を確かめる。$F^{+}$と$F^{\times }$の2乗の和は$\frac{1}{4}(1-\cos \theta {)}^2$で、$u=\cos \theta$と置くと$d\Omega =dud\phi$である。$\phi$の積分で$2\pi$が出て、係数は$\frac{3}{8\pi }\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{16}$になる

   $$\begin{array}{rl}& \Gamma (0)\\ & =\frac{3}{16}{\int }_{-1}^1(1-u{)}^{2}du\\ & =\frac{3}{16}\cdot \frac{8}{3}=\frac{1}{2}\end{array}$$

8. $\xi =180^{\circ }$では${\hat{p}}_b=-{\hat{p}}_a$で、パルサー$b$の係数の$1-\cos \theta$が$1+\cos \theta$に替わる（$\cos 2\phi$と$\sin 2\phi$は変わらない）。積は$\frac{1}{4}(1-u^2)$なので

   $$\begin{array}{rl}& \Gamma (180^{\circ })\\ & =\frac{3}{16}{\int }_{-1}^1(1-u^2)du\\ & =\frac{3}{16}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{4}\end{array}$$

1つのパルサーの地球の項は、パルスと同じ向きに進む波（$u=-1$）にいちばん強く応える。真反対の2つのパルサーでは強く応える向きが逆になるので、積の積分は、同じ向きの2つの半分しかない。

9. 一般の$\xi$では、パルサー$a$を$z$軸に、$b$を$xz$面に置き、今度は波の向き$\hat{\Omega }$を$(\theta ,\phi )$で動かす。偏極の軸を$\theta$と$\phi$の向きにとると、$F_a^{\times }=0$、$F_a^{+}=\frac{1}{2}(1-u)$になる

   $$\begin{array}{rl}\Gamma & =\frac{3}{16\pi }{\int }_{-1}^1(1-u)\\ & \times I(u)du\end{array}$$

10. $I(u)={\int }_0^{2\pi }{F}_b^{+}d\phi$は、留数定理で計算する。途中で$\sqrt{(u+c{)}^2}=|u+c|$が出るので、$c=\cos \xi$として$u\ge -c$（上）と$u<-c$（下）で形が分かれる。ここは結果だけを示す（ジェネットとロマーノの付録）

    $$\begin{array}{rl}\frac{I}{\pi }& =1-uc-\frac{2(1-c)}{1+u}\\ \frac{I}{\pi }& =1-uc-\frac{2(1+c)}{1-u}\end{array}$$

11. $u$で積分する。最初の2項は多項式で、$\frac{3}{8}+\frac{c}{8}$になる。残りは、下の区間では$1-u$が約分されて$-\frac{3}{8}(1+c)(1-c)$、上の区間では$\frac{1-u}{1+u}=\frac{2}{1+u}-1$を使って

    $$\begin{array}{rl}& -\frac{3}{8}(1-c)\\ & \times {\int }_{-c}^1(\frac{2}{1+u}-1)du\\ & =-\frac{3}{8}(1-c)\\ & \times (2\ln \frac{2}{1-c}-1-c)\end{array}$$

12. 下の区間の項と、上の区間の$-1-c$から出る項が打ち消し合い、対数の項だけが残る

    $$\begin{array}{rl}\Gamma & =\frac{3}{8}+\frac{c}{8}\\ & +\frac{3}{4}(1-c)\ln \frac{1-c}{2}\end{array}$$

13. $x=\frac{1-\cos \xi }{2}$と置くと$c=1-2x$で、記事の顔の式になる

    $$\begin{array}{rl}\Gamma (\xi )& =\frac{3}{2}x\ln x\\ & -\frac{x}{4}+\frac{1}{2}\end{array}$$

$x\to 0$で$x\ln x\to 0$なので$\Gamma (0)=1/2$、$x=1$で$\Gamma =1/4$と、手順7と8の値に戻る。対数の出どころは、手順11の$\frac{1}{1+u}$、もとをたどれば分母の$1+\hat{\Omega }\cdot \hat{p}$だ。波がパルスとほぼ同じ向きに進むと地球の項が大きくなり、ここではパルサーの項との打ち消しを無視した。打ち消しが効くのは、$1+\hat{\Omega }\cdot \hat{p}$が、波長とパルサーまでの距離の比ほどに小さい、ごく狭い向きだけである。

背景が等方でなければ、手順6の平均に重みがつき、相関は2つのパルサーの向きそのものによって変わる。