スモールワールド

知り合いの知り合いを木の枝のように数え広げる見積もりは、1998年より前からあった。トラヴァースとミルグラムは論文の冒頭で、イシエル・プールとマンフレッド・コッヘンの未発表の原稿を紹介している。1人が平均$n$人と知り合いだとして、届く人数を等比数列のように増やしていく模型だ。2人は知り合いの数の見積もりを入れ、2億人の中の典型的な2人なら、仲介者2人でつながると導いた。

ただ、この数え方には弱みがある。

現実の知り合いは、互いにも知り合いであることが多い。トラヴァースとミルグラムも、この模型は社会の構造を考えに入れていないと書いた。

数学の側では、両極端の網がよく調べられていた。1959〜60年にポール・エルデシュとアルフレッド・レーニが始めたランダムグラフ（カーン＝カライ予想）は、点どうしをでたらめに結ぶので距離は短いが、知り合いの知り合いが知り合いという「まとまり」はほとんど無い。隣どうしだけを結ぶ規則正しい格子は、その逆である。

コーネル大学が1998年6月4日に出した発表には、この両端を身近な絵にたとえた説明がある。1986年、ホームレスの人々を支えるために約700万人が手をつないで米国を横断した「ハンズ・アクロス・アメリカ」は、規則正しい網の典型だ。東海岸から西海岸へ伝言を回すには、長い時間がかかる。でたらめな網なら、同じ人たちがヤンキー・スタジアムの客席に座り、球場のあちこちにいる12人ほどと電話でつながっている姿になる。

生物や技術、社会の網の多くはその間のどこかにある、とワッツとストロガッツは論文の冒頭に書いた。

コーネル大学の理論・応用力学科で、大学院生のワッツと教授のストロガッツは、両端のあいだを1本のつまみでつなぐ模型を作った。

$n$個の点を輪に並べ、それぞれを近い順に$k$個の点と結ぶ。時計回りに1点ずつ、隣と結ぶ線を確率$p$で、輪の中からでたらめに選んだ点へつなぎ替える。1周したら2つ先と結ぶ線へ移り、$k/2$周で全部の線を1度ずつ調べる。$p=0$なら元の輪のまま、$p=1$ならすべての線がでたらめになる。

網の性質は2つの量で測った。1つは、どの2点のあいだも最短の道に含まれる線の数を数え、全部の組で平均した距離$L(p)$。もう1つは、ある点の知り合いどうしが知り合いである割合を、すべての点で平均したまとまりの度合い$C(p)$で、クラスター係数とも呼ぶ。

論文は1997年11月27日に受け付けられ、1998年6月4日のNatureに載った。$n=1,000$、$k=10$の網を20通りずつ作ると、$p$を上げはじめてすぐに$L$は急に下がり、$C$は輪の値からほとんど動かなかった。$L$はでたらめな網とほとんど変わらないほど小さいのに、$C$は輪のように大きい。2人はこうした網を、スモールワールド現象になぞらえて「スモールワールド」ネットワークと名づけた。

論文には両端の目安も書かれている。$p\to 0$では$L\sim n/2k$、$C\sim 3/4$で、$p\to 1$では$L\approx \ln n/\ln k$、$C\approx k/n$である。点の数が増えると、輪の$L$は$n$に比例して伸びるのに、でたらめな網の$L$は対数でしか伸びない。

同じ論文で2人は、この網の上で病気が広がる速さも計算した。感染した人は決まった時間で回復か死亡により除かれるという、SIRモデルと同じ考え方の模型である。必ずうつる病気が1人の感染者から全員に広がるまでの時間は、$L(p)$とほぼ同じ形の曲線を描いた。

「警戒すべきで、しかも見落としやすいのは、世界を小さくするのに近道がほんのわずかで足りることだ」と2人は書いている。