種数面積関係

図で納得する

$S$は種の数（種）、$A$は面積（km²）である。$c$は面積が1 km²のときの種の数で、$z$は面積が増えたときの種の増え方を決める数だ。$A^z$は「$A$の$z$乗」と読む。

$z$が2なら$A^z$は$A$を2個掛け合わせた数だが、ここでの$z$は0.3のように1より小さい。「0.3個掛け合わせる」は思い描きにくいので、面積を10倍にしたら種の数が何倍になるかで考える。$z$が1なら10倍、0.5なら$\sqrt{10}\approx 3.16$倍、0.3なら約2倍だ。

累乗どうしを掛けると、指数は足し算になる。$10^2\times 10^3$は、10を2個と3個、合わせて5個掛けた$10^5$だ。だから$10^{0.5}$を2個掛けると$10^1=10$になり、$10^{0.5}$は2乗して10になる数、つまり$\sqrt{10}$である。

同じように、$10^{0.3}$を10個掛けると、指数は0.3の10倍の3になり、$10^3=1000$になる。一方、2を10個掛けた$2^{10}$は1024だ。10個掛けた結果が1000と1024でほとんど同じなので、元の数もほとんど同じで、$10^{0.3}$はほぼ2になる。

$S$と$A$の関係をグラフにするときは、対数の目盛りを使う。常用対数$\log$は、10を何個掛けるとその数になるかを表す数で、$\log 1=0$、$\log 10=1$、$\log 100=2$、$\log 1000=3$である。対数のくわしい計算は、対数で確かめられる。

両対数のグラフは、縦軸と横軸の両方に、この対数の目盛りをとったグラフだ。目盛りは1、10、100、1000と、1つ進むごとに10倍になる。

面積1 km²に10種がすむ（$c=10$）として、つまみで$z$を動かし、目盛りを切り替える。ふつうの目盛りでは、面積が広がるほど曲線が寝ていく。両対数の目盛りにすると、どの$z$でも直線になり、$z$が大きいほど傾きが急になる。

式で確かめる

道すじは2段ある。両辺の対数をとって直線の式に直し（手順1〜4）、面積を10倍にしたときの種の数の比を出す（手順5〜8）。

1. 種の数の式から始める

   $$S=c{A}^z$$

2. 両辺の常用対数をとる

   $$\log S=\log \left(c{A}^z\right)$$

3. 掛け算の対数を、対数の足し算に分ける

   $$\log S=\log c+\log A^z$$

4. 累乗の対数を、指数との掛け算に直す

   $$\log S=\log c+z\log A$$

横軸に$\log A$、縦軸に$\log S$をとると、手順4は中学で習う一次関数$y=ax+b$と同じ形になる。傾き$a$にあたるのが$z$、切片$b$にあたるのが$\log c$だ。

$\log A$が1増えるのは面積が10倍になることで、そのとき$\log S$は$z$だけ増える。面積が1 km²なら$\log A=0$なので、直線の高さはちょうど$\log c$になる。

5. 面積を10倍にしたときの種の数の比をとる

   $$\frac{c(10A{)}^z}{c{A}^z}$$

6. 分子の$(10A{)}^z$を$10^z{A}^z$に分ける

   $$=\frac{c\cdot 10^z{A}^z}{c{A}^z}$$

7. 分子と分母にある$c{A}^z$を約分する

   $$=10^z$$

8. $z=0.3$を入れる

   $$10^{0.3}\approx 1.995\approx 2$$

手順6では、掛け算の累乗が累乗の掛け算に分かれることを使った。$(2\times 3{)}^2=36$と$2^2\times 3^2=4\times 9=36$が等しいのと同じである。

比をとると$c$と$A^z$が消えるので、何倍になるかは$z$だけで決まる。1 km²の島と10 km²の島でも、100 km²と1000 km²の島でも、種の数の比は同じだ。