テイラー・ルール

この式の道すじ。 金利は物価の分、景気への反応、物価への反応、実質金利の目安の足し算である（手順1〜4）。同じ文字を集めると1.5が現れ（手順5〜8）、1より大きいと実質金利が上がる。作った模型では、その差が物価の行方を分ける（手順9〜12）。

式の文字を読む

金利は、お金を借りる値段である。100万円を年5%で1年借りると、利息は5万円になる。短い期間の金利の目標を決めるのが中央銀行で、日本では日本銀行、米国ではFRBにあたる。この目標を政策金利と呼ぶ。米国の政策金利は、銀行どうしが翌日まで貸し借りするFF金利（フェデラルファンド金利）である。日本の無担保コールレートも、同じ翌日までの貸し借りの金利だ。政策金利が動くと、家や車のローンの金利もつられて動く。

インフレ率$\pi$は、物価が1年前より何%上がったかを示す。原典はGDPデフレーターで測る。国内で作られた物やサービス全体の物価である。

GDPは、国内で1年に作られた物やサービスの合計額で、物価の変化を除いたものを実質GDPという。人と設備を無理なく使い切ったときの水準が潜在GDPで、景気のずれ$y$はそこから何%離れているかを表す。GDPギャップとも呼ばれ、日本銀行は同じ考え方の数字を需給ギャップと呼ぶ。

$$y=\frac{\text{実質GDP}-\text{潜在GDP}}{\text{潜在GDP}}\times 100$$

$y=+2$なら無理なく作れる量より2%多く作っていて、$y=-2$なら人や設備が余っている。

金利には、名目と実質の2通りの数え方がある。ふだん目にする金利が名目金利で、そこからインフレ率を引くと実質金利になる¹。

$$\text{実質金利}=i-\pi$$

年5%で預けても物価が3%上がれば、買える物はおよそ2%しか増えない。借りる側の負担を決めるのも実質金利のほうだ。式の右端の2は、この実質金利の目安である。

数を入れて足す

インフレ率$\pi =3$、景気のずれ$y=1$を入れる。数は作った例である。

1. 最初の$\pi$はそのまま写す。物価が上がった分だけ金利を上げ、実質金利の目減りを防ぐ項だ

   $$\pi =3$$

2. 景気のずれに0.5を掛ける

   $$0.5\times 1=0.5$$

3. インフレ率と目標2の差に0.5を掛ける

   $$0.5\times (3-2)=0.5$$

4. 右端の2を足して合計する

   $$3+0.5+0.5+2=6$$

式が出す金利は6%で、実質金利は$6-3=3$%になる。景気が熱ければ金利を上げて冷まし、物価が目標より高ければさらに上げる、というのが真ん中の2項の役目だ。逆向きなら下げる。物価も景気も目標どおりならこの2項が消えて4%が残り、そのときの実質金利が2%になる。原典もこの形で説明している。

1.5という芯

よく見ると、$\pi$は2か所に分かれている。1か所に集めると式の芯が見える。

5. かっこを外す。0.5を$\pi$と$-2$の両方に掛ける

   $$i=\pi +0.5y+0.5\pi -1+2$$

6. $\pi$の項をまとめる

   $$i=1.5\pi +0.5y-1+2$$

7. 数の項をまとめる

   $$i=1.5\pi +0.5y+1$$

8. 数の項を先頭へ移す

   $$i=1+1.5\pi +0.5y$$

先ほどの数を入れると$1+4.5+0.5=6$で、同じ答えになる。$\pi$の前の1.5を、インフレ率の係数と呼ぶ。インフレ率が1上がると、金利は1.5上がる。「1対1より大きく動かす」この性質を、日本銀行の解説はテイラー原則と呼ぶ。

図で納得する

なぜ係数が1では足りないのか。$y$を変えずにインフレ率を1上げると、実質金利の動きは、金利の動きからインフレ率の動きを引いた値になる。

$$\text{実質金利の変化}=1.5-1=0.5$$

係数が1なら実質金利は動かず、0.8なら$0.8-1=-0.2$で下がる。物価が上がっているのに、お金は借りやすくなる。

FRBの解説はこう説明する。一時的でないインフレの上昇に金利を1対1より大きく上げると実質金利が上がり、家計や企業がお金を借りて使う負担が増え、経済の伸びが鈍る。売り上げの伸びが鈍ると会社は値上げを控えるので、インフレが抑えられる。係数が1より小さければ逆に回り、テイラーはこれを1999年の論文で「まさに間違った反応」と呼んだ。

式で確かめる

言葉の説明を数で追うために、3本だけの模型を作る。どれも説明のために作った式で、テイラーの論文にもFRBの解説にも無く、現実の予測には使えない。$c$は係数から1を引いた数で、原典の式なら0.5である。

$$\begin{array}{rl}i& =\pi +c(\pi -2)+2\\ y& =-(i-\pi -2)\\ \text{翌年の}\pi & =\pi +0.5y\end{array}$$

1本目は景気の項を省いた金利の式、2本目は実質金利が2より1高いと$y$が1下がるという式、3本目は$y$が1あると翌年のインフレ率が0.5上がるという式だ。$\pi =4$、$c=0.5$なら、1年で3.5まで下がる。

同じことを文字のまま進める。

9. 1本目の$i$を2本目に入れる。$\pi$と2が消える

   $$y=-c(\pi -2)$$

10. これを3本目に入れる

    $$\text{翌年の}\pi =\pi -0.5c(\pi -2)$$

11. 両辺から2を引いて、目標とのずれにする

    $$\begin{array}{rl}& \text{翌年の}\pi -2\\ & =(\pi -2)-0.5c(\pi -2)\end{array}$$

12. 右辺を$\pi -2$でくくる

    $$\begin{array}{rl}& \text{翌年の}\pi -2\\ & =(1-0.5c)(\pi -2)\end{array}$$

目標とのずれは、1年ごとに$1-0.5c$倍になる。$\pi =4$から始めると、次の表のように分かれる。

係数	倍率	1年後	3年後	5年後
1.5	0.75	3.50	2.84	2.47
1.0	1	4.00	4.00	4.00
0.8	1.1	4.20	4.66	5.22

係数1.5ならインフレ率は目標へ戻り、1.0なら4%のまま居座り、0.8なら離れていく。この模型の分かれ目は、係数が1を超えるかどうかにある²。3本の式を置いたときの結論で、現実の物価がこの速さで動くという話ではない。

導いた式ではない

ここまでの計算は、どれも式を受け入れてからの話である。0.5や2を導く手順は、原典に無い。テイラーは自分の式を「仮の、しかし代表的な規則」と呼び、係数は「話がしやすい丸い数」だと書いた。

2つの2にも導出は無い。実質金利の2については、仮定した成長率2.2%に近いと述べるだけだ。物価の2は、FRBが1992年に掲げたお金の伸びの目標から逆算した年0〜4%の真ん中にあたる。テイラーはこれを暗黙の目標と呼び、物価統計の偏りを考えれば「おそらく物価が安定した状態にごく近い」と書いた。

日銀レビューの2005年の解説は、この係数を「1987〜92年頃のFRBの金融政策を記述できるパラメータ」としてテイラーが提案したと説明し、元の式は「規範的な政策としての理論的な根拠を持つわけではない」と述べる。規範的とは、こうすべきだと示すという意味である。係数をどう選んだのかを、テイラーは論文に書いていない。研究から形を借り、丸い数を選び、実際の金利に重ねて見せた式と読める。どれほど重なるのかは、数を入れれば分かる。